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強力數

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如果一個整數 m 滿足：如果 p|m，則 p^2|m，那麼它就被稱為強力數。存在無限多個強力數，前幾個是 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, ... (OEIS A001694)。強力數總是 形如 a^2b^3，其中 a,b>=1。

小於等於 <=10, 10^2, 10^3, ... 的強力數的數量分別為 4, 14, 54, 185, 619, 2027, 6553, 21044, 67231, 214122, 680330, 2158391, ... (OEIS A118896)。

Golomb (1970) 證明了強力數 {P_k} 的倒數之和為：

sum_(k)1/(P_k)=(zeta(2)zeta(3))/(zeta(6))
(1)
=1.9435964...
(2)

(OEIS A082695)，其中 zeta(z) 是黎曼zeta函式。

並非每個自然數都是兩個強力數之和，但 Heath-Brown (1988) 已經證明，每個足夠大的自然數最多是三個強力數之和。存在無數對連續的強力數，前幾對是 (8, 9), (288, 289), (675, 676), (9800, 9801), ... (OEIS A060355 和 A118893)。

Erdős (1975/1965) 推測不存在三個連續的強力數。Golomb (1970) 以及 Mollin 和 Walsh (1986) 也考慮過這個問題。不存在強力數三元組的猜想意味著存在無限多個非Wieferich 素數 (Granville 1986; Ribenboim 1989, p. 341; Vardi 1991)。

“強力數”一詞的另一種用法是指那些等於其各位數字的任意正整數次冪之和的數（不一定每個數字的冪都相同）。前幾個是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24, 43, 63, 89, ... (OEIS A007532)。這些數也被 Rivera 稱為英俊數，並且是自戀數的一種特殊情況。以兩種不同方式表示的強力數（不計算重複數字的不同冪次為不同方式）是 264, 373, 375, 2132, 2223, 2241, 2243, 2245, 2263, (OEIS A050240)。以兩種不同方式表示的強力數（計算重複數字的不同冪次為不同方式）是 224, 226, 264, 332, 334, 375, 377, 445, (OEIS A050241)。

另請參閱

阿基里斯數, 自戀數

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參考文獻

Erdős, P. "關於連續整數的問題與結果。《Eureka》" 38, 3-8, 1975/1976.Erdős, P. "關於連續整數的問題與結果。《Publ. Math. Debrecen》" 23, 271-282, 1976.Golomb, S. W. "強力數。《美國數學月刊》" 77, 848-855, 1970.Granville, A. "強力數與費馬最後定理。《加拿大皇家科學院數學報告》" 8, 215-218, 1986.Guy, R. K. "強力數。" §B16 in 數論中未解決的問題，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 67-73, 1994.Heath-Brown, D. R. "三元二次型和三個平方數之和。" In 1986-87年巴黎數論研討會 (Ed. C. Goldstein). Boston, MA: Birkhäuser, pp. 137-163, 1988.Mollin, R. A. "強力數的威力。《Int. J. Math. Math. Sci.》" 10, 125-130, 1986. http://www.math.ucalgary.ca/~ramollin/PPN.pdf.Mollin, R. and Walsh, P. "關於強力數。《Int. J. Math. Math. Sci.》" 9, 801-806, 1986.Ribenboim, P. 素數記錄新書。 New York: Springer-Verlag, 1989.Ribenboim, P. "卡塔蘭猜想。《美國數學月刊》" 103, 529-538, 1996.Rivera, C. "問題與謎題：謎題 015-自戀數與英俊素數。" http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_015.htm.Sloane, N. J. A. 序列 A001694/M3325, A007532/M0487, A050240, A050241, A060355, A082695, A118893, 和 A118896 在 “整數序列線上百科全書” 中。Vardi, I. Mathematica 中的計算娛樂。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 59-62, 1991.

在 中被引用

強力數

請引用為

Weisstein, Eric W. "強力數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PowerfulNumber.html

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