哈爾圖

哈爾圖 是一個 二分 正則 圖，由 正整數 索引，並透過迴圈相鄰頂點的簡單 二進位制 編碼獲得。哈爾圖可能是 連通 或 非連通 的。

例如，考慮哈爾圖 ，它同構於 Heawood 圖。在二進位制中，，它有 7 個二進位制數字，因此編碼的 二分圖 有七個“黑色”（, ..., ）頂點和七個“白色”頂點（, ..., ）。由於二進位制表示中 1 的位置（將第一個數字作為位置 0）是 0、4 和 6， 被認為與頂點 , , 和 相鄰，對於 到 6，其中加法是模 7 運算（Pisanski 和 Randić 2000）。 這給出了邊

(1)

從而得到上面圖示的圖。

根據定義，哈爾圖似乎既是 頂點傳遞 的，也是 無三角形 的。

在 個頂點上的哈爾圖的最小索引是 ，並且在 個頂點上有 個（可能同構的）哈爾圖。更具體地說， 的 頂點計數 是

			(2)
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一個圖（在 個頂點上，）是哈爾圖 當且僅當 它允許一個自同構，該自同構恰好有兩個大小相等的軌道（且沒有其他軌道），這兩個軌道都是 獨立頂點集（Hladnik等人 2002）。

哈爾圖 中 的 二進位制 表示中 1 的數量等於相應（正則）圖的 頂點度。

（非空）迴圈圖 是哈爾圖 當且僅當 它是 二分圖。 唯一作為 廣義 Petersen 圖 的哈爾圖是偶數 稜柱圖 和 Möbius-Kantor 圖 （Hladnik等人 2002）。

奇數 的 是 哈密頓圖（Hladnik等人 2002）。

特殊情況總結在下表中。

	圖
1	2-路徑圖
3	方圖
7	效用圖
11	立方圖
37	富蘭克林圖
43	四次傳遞圖 23
69	Heawood 圖
75	四次傳遞圖 31
133	Möbius-Kantor 圖
139	四次傳遞圖 40
141	四次傳遞圖 48
171	16-五次圖 1
261	三次傳遞圖 20
267	四次傳遞圖 57
293	四次傳遞圖 67
517	三次傳遞圖 25
525	Bouwer 圖
1029	三次傳遞圖 32
1099	關聯圖 (11,5,2)
2053	三次傳遞圖 36
2057	三次傳遞圖 35
2065	三次傳遞圖 38
4101	三次傳遞圖 47
4105	Foster 圖 026A
4137	(4,6)-籠
8197	三次傳遞圖 52
8201	三次傳遞圖 51
16389	三次傳遞圖 59
16393	三次傳遞圖 60
16401	三次傳遞圖 62
16402	三次傳遞圖 58
17051	關聯圖 (15,7,3)
32773	三次傳遞圖 68
32777	三次傳遞圖 67
32786	(16,7)-廣義 Petersen 圖

作為哈爾圖的圖族包括二分非空迴圈圖，完全二分圖 , 交叉稜柱圖, 冠圖 , 偶數 圈圖 , 偶數 圈 的不相交圖並集 , Knödel 圖, 梯子圖 , 奇數 Möbius 梯子 , 和偶數 稜柱圖 。特殊類總結在下表中。

圖類	OEIS	哈爾指數
完全二分圖	A000225
-交叉稜柱圖	A000000
-冠圖	A055010
-圈圖	A000051
	A007582
	A081342
-梯子圖	A000079
-Möbius 梯子	A000000
-稜柱圖	A000000

一般來說，圖並集 的 個 圈圖 副本具有哈爾指數 。

給出唯一非同構圖的最小索引由 1、2、3、4、5、7、8、9、10、11、15、16、17、19、...（OEIS A137706）給出。 這些索引都對應於 的值，使得標準順序中的第 個組合是一個共項鍊（參見 eis333764）。 下表總結了一些小圖的所有可能的哈爾數。

圖	哈爾數
6-圈圖	5, 6
8-圈圖	9, 12
立方圖	11, 13, 14
10-圈圖	17, 18, 20, 24
5-Möbius 梯子	19, 21, 22, 25, 26, 28
5-冠圖	23, 27, 29, 30
12-圈圖	33, 48
	34, 40
6-稜柱圖	35, 49, 56
富蘭克林圖	37, 38, 41, 44, 50, 52

在 、4、... 個節點上的非同構哈爾圖的數量是 1、2、3、5、5、12、9、22、21、44、29、157、73、...（OEIS A357000）。

在 Wolfram Language 中，小而特殊值的 的哈爾圖實現為GraphData["Haar", n].