阻尼簡諧運動

在簡諧運動方程中加入一個與成正比的阻尼力，即對時間的第一次導數，阻尼簡諧運動的運動方程為

(1)

其中是阻尼常數。例如，這個方程出現在電子CLR電路（包含電容器、電感器和電阻器）中電流流動的分析中。由兩個相互垂直的阻尼諧振子產生的曲線稱為諧波圖，如果，則簡化為李薩如圖形。

阻尼諧振子可以透過尋找以下形式的試探解來求解。將其代入到方程 (1) 得到

(2)

(3)

這是一個二次方程，其解為

(4)

因此，根據平方根內數量的符號，存在三種解的區域，

(5)

下表總結了這三個區域。

	區域
	欠阻尼
	臨界阻尼
	過阻尼

如果在角頻率處新增一個週期性（正弦）強迫項，則再次獲得相同的三個解的區域。令人驚訝的是，由此產生的運動仍然是週期性的（在初始瞬態響應，對應於無強迫情況的解，消失之後），但是它的振幅與強迫振幅不同。

對於強迫二階非齊次常微分方程，特解為

(6)

由於強迫項，可以使用引數變分法找到，由以下方程給出

(7)

其中和是無強迫方程的齊次解

(8)

並且是這兩個函式的朗斯基行列式。一旦解決了正弦強迫的情況，就可以透過將週期函式表示為傅立葉級數，將其推廣到任何週期函式。