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臨界阻尼簡諧運動

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SHOCriticallyDamped

臨界阻尼是阻尼簡諧運動的一個特例

x^..+betax^.+omega_0^2x=0,
(1)

其中

D=beta^2-4omega_0^2=0,
(2)

其中 beta 是阻尼常數。因此

beta=2omega_0.
(3)

在這種情況下，D=0 因此 形式為 x=e^(rt) 的解滿足

r_+/-=1/2(-beta)=-1/2beta=-omega_0.
(4)

因此，其中一個解是

x_1=e^(-omega_0t).
(5)

為了找到另一個線性獨立的解，我們可以利用恆等式

x_2(t)=x_1(t)int(e^(-intp(t)dt))/([x_1(t)]^2)dt.
(6)

由於我們有 p(t)=2omega_0, e^(-intp(t)dt) 簡化為 e^(-2omega_0t)。因此，方程 (6) 變為

x_2(t)=e^(-omega_0t)int(e^(-2omega_0t))/([e^(-omega_0t)]^2)dt=e^(-omega_0t)intdt=te^(-omega_0t).
(7)

因此，通解為

x=(A+Bt)e^(-omega_0t).
(8)

用常數 A 和 B 表示，初始值為

x(0)=A
(9)
x^.(0)=B-Aomega,
(10)

因此

A=x(0)
(11)
B=x^.(0)+omega_0x(0).
(12)

上圖顯示了一個臨界阻尼簡諧振盪器，其中 omega=0.3, beta=0.15，適用於各種初始條件 (A,B)。

對於具有臨界阻尼的正弦受迫簡諧運動，運動方程為

x^..+2omega_0x^.+omega_0^2x=Ccos(omegat),
(13)

而 朗斯基行列式為

W(t)=x_1x^._2-x^._1x_2
(14)
=e^(-2omega_0t).
(15)

將其代入特解方程得到

x^*(t)=-e^(-omega_0t)int(te^(-omega_0t)Acos(omegat))/(e^(-2omega_0t))dt+te^(-omega_0t)int(e^(-omega_0t)Acos(omegat))/(e^(-2omega_0t))dt
(16)
=A/((omega^2+omega_0^2)^2)[(omega_0^2-omega^2)cos(omegat)+2omegaomega_0sin(omegat)].
(17)

然後應用和角公式得到

x^*(t)=A/(omega^2+omega_0^2)cos(omegat+delta),
(18)

其中

delta=tan^(-1)((2omegaomega_0)/(omega^2-omega_0^2))
(19)

另請參閱

阻尼簡諧運動, 過阻尼簡諧運動, 簡諧運動, 欠阻尼簡諧運動

使用 探索

參考文獻

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 528, 1984.

請引用為

Weisstein, Eric W. "臨界阻尼簡諧運動。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CriticallyDampedSimpleHarmonicMotion.html

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