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過阻尼簡諧運動

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SHOOverdamped

過阻尼簡諧運動是 阻尼簡諧運動 的一種特殊情況

x^..+betax^.+omega_0^2x=0,
(1)

其中

beta^2-4omega_0^2>0.
(2)

因此

D=beta^2-4omega_0^2>0.
(3)
x_1=e^(r_-t)
(4)
x_2=e^(r_+t),
(5)

其中

r_+/-=1/2(-beta+/-sqrt(beta^2-4omega_0^2)).
(6)

因此，通解為

x=Ae^(r_-t)+Be^(r_+t),
(7)

其中 A 和 B 是常數。 初始值為

x(0)=A+B
(8)
x^.(0)=Ar_-+Br_+,
(9)

所以

A=x(0)-(r_-x(0)-x^.(0))/(r_--r_+)
(10)
B=(r_-x(0)-x^.(0))/(r_--r_+).
(11)

上圖顯示了一個過阻尼簡諧振子，引數為 omega=0.3, beta=0.075 和三個不同的初始條件 (A,B)。

對於一個餘弦力驅動的過阻尼振盪器，驅動函式為 g(t)=Ccos(omegat), 即

x^..+betax^.+omega_0^2x=Ccos(omegat),
(12)

通解為

x_1(t)=e^(r_1t)
(13)
x_2(t)=e^(r_2t),
(14)

其中

r_1=1/2(-beta+sqrt(beta^2-4omega_0^2))
(15)
r_2=1/2(-beta-sqrt(beta^2-4omega_0^2)).
(16)

這些給出恆等式

r_1+r_2=-beta
(17)
r_1-r_2=sqrt(beta^2-4omega_0^2)
(18)

和

omega_0^2=1/4[beta-(r_1-r_2)^2]
(19)
=r_1r_2.
(20)

現在我們可以使用引數變分法來獲得特解為

x^*=x_1v_1+x_2v_2,
(21)

其中

v_1=-int(x_1(t)g(t))/(W(t))
(22)
v_2=int(x_2(t)g(t))/(W(t))
(23)

朗斯基行列式為

W(t)=x_1x^._2-x^._1x_2
(24)
=(r_2-r_1)e^((r_1+r_2)t).
(25)

這些可以直接積分得到

v_1=-C/(r_2-r_1)(omegasin(omegat)-r_2cos(omegat))/(e^(r_2t)(r_2^2+omega^2))
(26)
v_2=C/(r_2-r_1)(omegasin(omegat)-r_1cos(omegat))/(e^(r_1t)(r_2^2+omega^2)).
(27)

積分、代入和簡化後得到

x^*(t)=C(cos(omegat)(r_1r_2-omega^2)-sin(omegat)omega(r_1+r_2))/((r_1^2+omega^2)(r_2^2+omega^2))
(28)
=C/(sqrt(beta^2omega^2+(omega^2-omega_0^2)^2))cos(omegat+delta),
(29)

其中使用了和角公式以及

delta=tan^(-1)((betaomega)/(omega^2-omega_0^2)).
(30)

另請參閱

臨界阻尼簡諧運動, 阻尼簡諧運動, 簡諧運動, 欠阻尼簡諧運動

使用 探索

參考文獻

Papoulis, A. 機率、隨機變數和隨機過程，第二版 紐約：麥格勞-希爾, pp. 527-528, 1984.

引用本文為

韋斯坦因，埃裡克·W. "過阻尼簡諧運動。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/OverdampedSimpleHarmonicMotion.html

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