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科努螺線

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CornuSpiral

科努螺線是在複平面上點的圖示

B(t)=S(t)+iC(t),
(1)

其中 S(t) 和 C(t) 是菲涅爾積分（von Seggern 2007, p. 210; Gray 1997, p. 65）。科努螺線也稱為迴旋曲線或尤拉螺線。它可能最早由約翰·伯努利在 1696 年左右研究 (Bernoulli 1967, pp. 1084-1086)。科努螺線描述了來自半平面邊緣的衍射。

CornuSlope

量 C(t)/S(t) 和 S(t)/C(t) 在上方繪製。

CornuNormalTangent

曲線的斜率的切向量（上右圖）為

m_T(t)=(S^'(t))/(C^'(t))=tan(1/2pit^2),
(2)

在下方繪製。

CornuTangentSlope

科努螺線的Cesàro 方程是 rho=c^2/s, 其中 rho 是曲率半徑，s 是弧長。撓率是 tau=0。

CornuSpirals

Gray (1997) 定義了由引數方程給出的科努螺線的推廣

x(t)=aint_0^tsin((u^(n+1))/(n+1))du
(3)
=(at^(n+2))/((n+1)(n+2))_1F_2(1/2+1/(2(n+1));3/2,3/2+1/(2(n+1));-(t^(2(n+1)))/(4(n+1)^2))
(4)
y(t)=aint_0^tcos((u^(n+1))/(n+1))du
(5)
=at_1F_2(1/(2(n+1));1/2,1+1/(2(n+1));-(t^(2(n+1)))/(4(n+1)^2)),
(6)

其中 _1F_2(a;b,c;x) 是廣義超幾何函式。

這條曲線的弧長、曲率和切線角是

s(t)=at
(7)
kappa(t)=-(t^n)/a
(8)
phi(t)=-(t^(n+1))/(n+1).
(9)

Cesàro 方程是

kappa=-(s^n)/(a^(n+1)).
(10)
CornuPolynomialSpirals

Dillen (1990) 描述了一類“多項式螺線”，其中曲率是弧長的多項式函式。這些螺線是科努螺線的進一步推廣。上面繪製的曲線分別對應於 kappa=s, kappa=s^2, kappa=s^2-2.19, kappa=s^2-4, kappa=s^2+1, 和 kappa=5s^4-18s^2+5。

另請參閱

菲涅爾積分, 尼爾森螺線

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參考文獻

Bernoulli, J. Opera, Tomus Secundus. Brussels, Belgium: Culture er Civilisation, 1967.Dillen, F. "The Classification of Hypersurfaces of a Euclidean Space with Parallel Higher Fundamental Form." Math. Z. 203, 635-643, 1990.Gray, A. "Clothoids." §3.7 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 64-66, 1997.Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 190-191, 1972.von Seggern, D. CRC Standard Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 2007.

請引用為

Weisstein, Eric W. "科努螺線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CornuSpiral.html

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