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Yff 點


YffPoints

設點 A^'B^'C^' 沿邊 BCCAAB 以固定距離 x 標記。則直線 AA^'BB^'CC^' 交於一點 U,該點稱為第一 Yff 點,如果

 x^3=(a-x)(b-x)(c-x).
(1)

此方程具有唯一的實根 u,可以透過求解三次方程獲得

 f(x)=2x^3-px^2+qx-r=0,
(2)

其中

p=a+b+c
(3)
q=ab+ac+bc
(4)
r=abc.
(5)

等角共軛 U^' 稱為第二 Yff 點。第一點和第二點的三角形中心函式由下式給出

 alpha=1/a((c-u)/(b-u))^(1/3)
(6)

 alpha^'=1/a((b-u)/(c-u))^(1/3),
(7)

分別。

類似於 Brocard 角 omega 的不等式 omega<=pi/6,對於 Yff 點,u<=p/6 成立,在等邊三角形的情況下取等號。類似於

 omega<alpha_i<pi-3omega
(8)

對於 i=1、2、3,Yff 點滿足

 u<a_i<p-3u.
(9)

Yff (1963) 給出了許多其他有趣的性質。直線 UU^' 垂直於包含內心 I外心 O 的直線,其長度由下式給出

 UU^'^_=(4uIO^_Delta)/(u^3+abc),
(10)

其中 Delta三角形面積

Yff 點的塞瓦三角形被稱為 Yff 三角形。


另請參閱

Brocard 點, 第一 Yff 三角形, 第二 Yff 三角形

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參考文獻

Yff, P. "Brocard 點的類比。" Amer. Math. Monthly 70, 495-501, 1963.

在 上被引用

Yff 點

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "Yff 點。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/YffPoints.html

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