三角形內接正方形

給定一個三角形 ，內接正方形是一個正方形，其所有四個頂點都位於 的邊上，並且其中兩個頂點落在同一條邊上。正如 van Lamoen (2004) 指出的，有兩種型別的正方形內接參考三角形 ，因為所有頂點都位於 的邊線上。特別是，第一種型別在一個邊上具有正方形的兩個相鄰頂點，而第二種型別在一個邊上具有兩個相對的頂點。每種型別都有三個正方形，van Lamoen (2004) 在齊次重心座標中給出了每種型別的三個正方形的中心和頂點。

I 型內接正方形可以透過在其中一條邊（例如 ）上向外構建一個正方形來獲得。現在連線這個正方形的新頂點 和 與頂點 ，標記交點 和 。接下來，繪製透過 和 到 的垂線。這些線分別在 和 上與 和 相交。這產生了 內接正方形 (van Lamoen 2004)。

-, -, 和 -內接正方形的中心構成的三角形 形成內內接正方形三角形，它與 透視，透視中心是外 Vecten 點，Kimberling's 。

透過最初在邊 上向內構建一個正方形，可以進行類似的構造。這導致了 內接正方形。 -, -, 和 -內接正方形的中心構成的三角形 形成外內接正方形三角形，它與 透視，透視中心是內 Vecten 點，Kimberling's 。

II 型內接正方形的中心是垂心軸與 各邊的交點。考慮垂心軸和 的交點 。透過 到 的垂線分別與 和 相交於 和 。與 上的點 和 一起，這些點構成了 II 型 -內接正方形。

連線這些內接正方形的頂點 和 的線平行於垂心軸。

透過 , 和 的圓是 -阿波羅尼斯圓（型別 3）。

考慮如上所述在非鈍角三角形中內接的所有可能正方形的長度。檢查表明，所有這些正方形的邊長非常接近，Oxman 和 Stupel (2013) 證實了這一觀察結果，他們表明，如果 是任意兩個此類正方形的邊長，則 。

Casey (1888, pp. 10-11) 給出了在任意三角形 上內接一種正方形的幾何構造如下。構造垂線 和線段 。平分 ，令 為角平分線與 的交點。然後繪製透過 的 和 ，分別垂直於和平行於 。令 為 和 的交點，然後構造透過 和 垂直於 的 和 。那麼 是一個內接正方形。置換頂點的順序會得到另外兩個全等的正方形。

請注意，這些正方形不一定是最大的可能內接正方形。卡拉比三角形是唯一的三角形（除了等邊三角形），對於它，最大的內接正方形可以用三種不同的方式內接。