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齊次重心座標

齊次重心座標是歸一化的重心座標，使得它們成為子三角形的實際面積。重心座標被歸一化，使得

t_1+t_2+t_3=1,
(1)

使得座標給出由原始三角形面積歸一化的子三角形面積，被稱為面積座標 (Coxeter 1969, p. 218)。重心座標和面積座標可以為幾何定理提供特別優雅的證明，例如勞斯定理、塞瓦定理和梅涅勞斯定理 (Coxeter 1969, pp. 219-221)。

對應於精確三線座標 (a^':b^':c^') 的齊次重心座標是 (t_1,t_2,t_3)，其中

t_1=1/2aa^'
(2)
t_2=1/2bb^'
(3)
t_3=1/2cc^'.
(4)

下表總結了一些常見三角形中心的齊次重心座標，其中 R 是參考三角形的外接圓半徑。

三角形中心齊次重心座標
外心 O(1/2aRcosA,1/2bRcosB,1/2cRcosC)
內心 I((a^2bc)/(4(a+b+c)R),(ab^2c)/(4(a+b+c)R),(abc^2)/(4(a+b+c)R))
垂心 H(aRcosBcosC,bRcosAcosC,cRcosAcosB)
交徑點 K((a^3bc)/(4(a^2+b^2+c^2)R),(ab^3c)/(4(a^2+b^2+c^2)R),(abc^3)/(4(a^2+b^2+c^2)R))
三角形重心 G((abc)/(12R),(abc)/(12R),(abc)/(12R))

另請參閱

面積座標, 重心座標, 三線座標

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參考文獻

Coxeter, H. S. M. "重心座標。" §13.7 in 幾何學導論，第二版 紐約: Wiley, pp. 216-221, 1969.

在 中被引用

齊次重心座標

請引用為

Weisstein, Eric W. "齊次重心座標。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HomogeneousBarycentricCoordinates.html

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