短正合序列

群 , , 和 的短正合序列由兩個對映 和 給出，並記為

(1)

因為它是一個正合序列， 是單射，並且 是滿射。此外，群核 是 的像。因此，群 可以被視為 的（正規）子群，而 同構於 。

如果存在一個對映 使得 是 上的恆等對映，則稱短正合序列分裂。這僅當 是 和 的直積時發生。

短正合序列的概念也適用於模和層。給定一個單位環 上的模 ，所有短正合序列

(2)

是分裂的 當且僅當 是射影的，並且所有短正合序列

(3)

是分裂的 當且僅當 是內射的。

向量空間的短正合序列總是分裂的。