平行線

平行線是與三角形一邊平行的直線。透過給定點繪製的三條直線被稱為三角形的平行線。

在三角形內部存在一個獨特的點，該點產生三條長度相等的平行線。這個點被稱為等平行線點。

有一個美麗的定理，將由平行線確定的三個三角形的面積與參考三角形的面積 聯絡起來。給定透過具有三線座標 的點的平行線，上面所示的三角形的面積由下式給出

			(1)
			(2)
			(3)

因此立即得出

(4)

（G. Dalakishvili，個人通訊，2005 年 5 月 31 日）。基於定理中配置的外觀，將其稱為“輻射符號定理”可能是合適的。

類似的定理也適用於圖中其他三角形組（van Lamoen，個人通訊，2005 年 12 月 2 日）。特別是，

			(5)
			(6)
			(7)

給出

(8)

同樣地，

			(9)
			(10)
			(11)

因此

(12)

如上圖所示，當 位於 Steiner 內切橢圓內部時，平行線的端點位於中心為 的橢圓上

			(13)
			(14)
			(15)

如果 位於 Steiner 內切橢圓上，則這些點位於拋物線上；如果 位於 Steiner 內切橢圓外部，則這些點位於雙曲線上。如果 位於 Steiner 外接橢圓上，則圓錐曲線退化為直線（P. Moses，個人通訊，2005 年 11 月 17 日）。

考慮 的反 Cevian 三角形，並對其應用位似變換 。這個三角形是由直線 (, ), (, ) 和 (, ) 形成的三角形（P. Moses，個人通訊，2005 年 11 月 16 日）。

設 是三角形 中的另一個點。設 、 和 分別是在三角形 、 和 中定義的點 ，設 、 和 分別是在三角形 、 和 中定義的點 。三角形 和 關於線段 的中點對稱，這六個頂點位於中心圓錐曲線上。當且僅當 是 的垂足對應點時，這個中心圓錐曲線是一個圓（Gibert 和 van Lamoen 2003）。