一百美元，百位數字挑戰難題

一百美元，百位數字挑戰難題是由十個數值分析問題組成，發表於 2002 年 1/2 月號的 SIAM News (http://www.siam.org/siamnews/01-02/challenge.pdf)。 這些問題的提出者 Nick Trefethen 懸賞 100 美元給在 2002 年 5 月 20 日之前，對這些問題獲得最多正確位數（最多 10 位）的個人或團隊。 Trefethen 低估瞭解題者的聰明才智，20 個獨立的團隊獲得了所有 10 個問題的 10 位正確數字。 在一位匿名捐助者的介入以幫助支付超出預期的獎金後，獎金支票於 2002 年 12 月寄給了所有獲獎者。

提出的問題如下。

1. 是什麼？這個問題在其原始形式中很難進行數值積分，因為原點附近存在強烈的振盪。 然而，透過代換 ，它可以轉化為積分

使用振盪數值積分技術，這個積分可以相當快地收斂。

Boersma 和 Jansen 使用圍道積分將問題轉化為

它們每一個都收斂得相當快。

Laurie 指出，該積分可以寫成

其中 是從 0 到 1 的任何圍道，使得在 和從 0 到 1 的線段定義的區域內沒有奇點（Wagon 2004）。 例如， 就是這樣一條圍道。

這個問題也可以透過將被積函式寫成漸近級數來解決

並逐項積分以獲得強振盪和

令人驚訝的是，可以使用 Wynn 的 epsilon 方法，使用適當的項數和外推度來正則化這個和，從而獲得大約 7 位正確數字。

2. 一個光子在 x-- 平面以速度 1 運動，在 時從 出發，方向正東。 在平面上的每個整數格點 周圍，都豎立了一個半徑為 的圓形鏡子。 光子在 時離原點有多遠？

3. 具有條目 、、、、、 等的無限矩陣 是 上的有界運算元。 是什麼？ 這個問題等價於找到具有條目的無限矩陣的最大奇異值

即，矩陣

4. 函式的全域性最小值是什麼

（參見 Bailey 等人，2007 年，第 12 頁和 219 頁；Kampas 和 Pintér 2006 年）。 這個問題可以用 Wolfram 語言中的一行程式碼解決。

  NMinimize[f[x, y], {x, y}, Method -> {"RandomSearch",
    "SearchPoints" -> 700}, WorkingPrecision -> 20]

5. 令 ，其中 是伽馬函式，令 是在單位圓盤上以上確界範數 最佳逼近 的三次多項式。 是什麼？

6. 一隻跳蚤從無限二維整數格點上的 開始，進行有偏隨機遊走：每一步，它以 1/4 的機率向北或向南跳，以 的機率向東跳，以 的機率向西跳。 跳蚤在其遊走過程中返回 (0, 0) 的機率為 1/2。 是什麼？

解由求解下式給出

其中 是第一類完全橢圓積分。 等價地，它由以下方程的根給出

其中 是算術-幾何平均值。

它也可以透過求解 給出，其中

(Bornemann 2002)。

7. 令 為 矩陣，其條目在所有位置都為零，除了主對角線上的素數 2, 3, 5, 7, ..., 224737 以及所有位置 中為 1 的數字，其中 , 2, 4, 8, ..., 16384。 的 (1, 1) 項是什麼？

這個問題可以精確求解，得到一個有理數，其分子和分母各有 位數字

(Wagon 2004)。

8. 一個正方形板 的溫度為 。 在時間 時，溫度沿四個邊中的一個邊增加到 ，同時沿其他三個邊保持在 ，然後熱量根據 流入板中。 板中心處的溫度何時達到 ？

給出 10 位正確數字的表示式由下式給出

其中 是一個多項式根。 獲得更高的精度需要使用級數的更多項。

9. 積分 取決於引數 。 在 中的哪個 值處， 達到其最大值？

透過進行變數替換 ，積分可以轉化為

透過繪圖，可以看到最大值出現在 附近，並且可以使用標準的求根技術來高精度地確定它。

10. 一個位於 10×1 矩形中心的粒子進行布朗運動（即，步長無窮小的二維隨機遊走），直到它到達邊界。 它在端點而不是側面擊中的機率是多少？ 令人驚訝的是，這個問題有一個閉式解，由下式給出

其中 是橢圓 lambda 函式（參見 Bailey 等人，2007 年，第 48 頁）。

解決方案總結在下表中。