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整數格點

LatticePoints

在正方形陣列中規則排列的點陣列，即座標為 (m,n,...) 的點，其中 m, n, ... 是整數。 這樣的陣列通常被稱為網格或網狀結構，是點格點的一個特例。

正如 Castellanos (1988, pp. 155-156) 推匯出的那樣，從原點可見的格點比例是

(N^'(r))/(N(r))=((24)/(pi^2)r^2+O(rlnr))/(4r^2+O(r))
(1)
=(6/(pi^2)+O((lnr)/r))/(1+O(1/r))
(2)
=6/(pi^2).
(3)

因此，這也是兩個隨機選擇的整數將互質的機率。

可以選取不共圓的 n^2 格點 x,y in [1,n] 的數量是 O(n^(2/3)-epsilon) (Guy 1994, p. 241)。

PointLatticeParallelograms

在格點上，任意兩條對邊長度均為 1 的平行四邊形，其面積為單位面積（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, pp. 33-34）。

在規則格點上定義的一組特殊多邊形是 golygons。 線性變換將格點變換為自身的充要條件是它是么模的。 M. Ajtai 已經證明，除非存在針對所有生成向量的高效演算法（目前尚無已知演算法），否則不存在用於查詢格點中一組生成向量的任何一部分（具有最短長度）的高效演算法。 此結果在密碼學和身份驗證方面具有潛在的應用（Cipra 1996）。

另請參閱

格點, 三點不共線問題, 點格點

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. 解析數論導論。 New York: Springer-Verlag, 1995.Castellanos, D. "無處不在的 Pi。" Math. Mag. 61, 67-98, 1988.Cipra, B. "格點可能使安全程式碼更穩固。" Science 273, 1047-1048, 1996.Eppstein, D. "格點理論和數幾何。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/lattice.html.Gardner, M. "整數格點。" Ch. 21 in 《科學美國人》的第六本數學遊戲書。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 208-219, 1984.Guy, R. K. "高斯格點問題"、"具有不同距離的格點"、"不共圓的格點" 和 "三點不共線問題"。 §F1, F2, F3, and F4 in 數論中的未解決問題，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 240-244, 1994.Hammer, J. 關於格點中的未解決問題。 London: Pitman, 1977.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "點的規則系統。" Ch. 2 in 幾何與想象。 New York: Chelsea, pp. 32-93, 1999.Knupp, P. and Steinberg, S. 網格生成基礎。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1994.Nagell, T. "格點和點格點。" §11 in 數論導論。 New York: Wiley, pp. 32-34, 1951.Thompson, J. F.; Soni, B.; and Weatherill, N. 網格生成手冊。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1998.

在 中被引用

整數格點

請引用為

Weisstein, Eric W. "整數格點。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/IntegerLattice.html

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