隨機漫步--二維

在一個平面內，考慮 個具有隨機方向的二維向量的和。使用相量表示法，並令每個向量的相位為隨機的。假設在任意方向上採取 個單位步長（即，角度 在 內均勻分佈，而非在格點上），如上圖所示。在 步之後，複平面中的位置 由下式給出

(1)

其絕對平方為

			(2)
			(3)
			(4)

因此，

(5)

每個單位步長在任何方向上的可能性均相等（ 和 ）。位移是隨機變數，具有相同的零均值，並且它們的差值也是一個隨機變數。對此分佈求平均值，該分佈具有等機率的正值和負值，得出的期望值為 0，因此

(6)

因此， 個單位步長後的均方根距離為

(7)

因此，當步長為 時，這變為

(8)

為了行進距離 ，

(9)

因此需要這些步數。

令人驚訝的是，已經證明在二維格點上，當步數接近無窮大時，隨機漫步到達任何點（包括起點）的機率為 1。