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道森積分

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DawsonsIntegral

道森積分（Abramowitz and Stegun 1972，第295頁和319頁），有時也稱為道森函式，是由 積分 給出的 整函式

F(x)=e^(-x^2)int_0^xe^(y^2)dy
(1)
=1/2sqrt(pi)e^(-x^2)erfi(x),
(2)

其中 erfi(x) 是 erfi，它出現在 Voigt 線型（Harris 1948，Hummer 1963，Sajo 1993，Lether 1997）、熱傳導以及某些特殊真空管中的電振盪理論的計算中（McCabe 1974）。它通常被表示為 F(x) (McCabe 1974; Coleman 1987; Milone and Milone 1988; Sajo 1993; Lether 1997; Press et al. 2007, p. 302)，雖然 Spanier 和 Oldham (1987) 用 daw(x) 表示。

道森積分在 Wolfram 語言 中實現為DawsonF[z]。

它是一個 奇函式，因此

F(-x)=-F(x).
(3)

它的 導數 是

d/(dx)F(x)=1-2xF(x)
(4)

它的 不定積分 是

intF(x)dx=1/2x^2_2F_2(1,1;3/2,2;-x^2),
(5)

其中 _2F_2(a,b;c,d;z) 是一個 廣義超幾何函式。

它是 微分方程 的特解

F^'(z)+2zF(z)=1
(6)

(McCabe 1974)。

它的 麥克勞林級數 由下式給出

F(x)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n2^n)/((2n+1)!!)x^(2n+1)
(7)
=x-2/3x^3+4/(15)x^5-8/(105)x^7+...
(8)

(OEIS A122803 和 A001147)。如果具有 漸近級數

F(x)∼1/(2x)+1/(4x^3)+....
(9)

它也出現在 半積分 的 e^(-x) 中，透過

D^(-1/2)e^(-x)=2/(sqrt(pi))F(sqrt(x))
(10)

(Spanier 和 Oldham 1987，第 406 頁)。

它由以下和式給出

F(x)=1/2xsqrt(pi)sum_(k=0)^(infty)((-1)^kx^(2k))/(Gamma(k+3/2))
(11)
=xsum_(k=0)^(infty)((-1)^kx^(2k))/((3/2)_k)
(12)

(Spanier 和 Oldham 1987，第 407 頁)，其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式，(z)_k 是 Pochhammer 符號。

道森積分具有連分數

F(z)=1/(1+)(2z^2)/(3-)(4z^2)/(5+)(6z^2)/(7-)(8z^2)/(9+)...
(13)
=z/(1+2z^2-)(4z^2)/(3+2z^2-)(8z^2)/(5+2z^2-)(12z^2)/(7+2z^2-)...
(14)

(McCabe 1974)。

DawsonPlusReIm
DawsonPlusContours

上面的圖顯示了 F(z) 在 複平面 中的行為。

F 在 F^'(x)=0 處有一個最大值，或者

1-sqrt(pi)e^(-x^2)xerfi(x)=0,
(15)

給出

F(0.9241388730)=0.5410442246
(16)

(OEIS A133841 和 A133842)，並在 F^('')(x)=0 處有一個拐點，或者

-2x+sqrt(pi)e^(-x^2)(2x^2-1)erfi(x)=0,
(17)

給出

F(1.5019752683)=0.4276866160
(18)

(OEIS A133843)。

該函式有時被推廣為使得

D_+/-(x)=e^(∓x^2)int_0^xe^(+/-y^2)dy,
(19)

給出

D_+(x)=1/2sqrt(pi)e^(-x^2)erfi(x)
(20)
D_-(x)=1/2sqrt(pi)e^(x^2)erf(x),
(21)

其中 erf(z) 是 erf 函式，erfi(z) 是虛誤差函式 erfi。

DawsonMinusReIm
DawsonMinusContours

上面的圖顯示了 D_-(z) 在 複平面 中的行為。

另請參閱

Erfi，高斯函式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 295 and 319, 1972.Cody, W. J.; Pociorek, K. A.; and Thatcher, H. C. "道森積分的切比雪夫逼近。" Math. Comput. 24, 171-178, 1970.Coleman, J. P. "蘭喬斯 τ 方法的復多項式逼近：道森積分。" J. Comput. Appl. Math. 20, 137-151, 1987.Dawson, F. "關於 int_0^he^(x^2)dx 的數值。" London Math. Soc. Proc. 29, 519-522, 1898.Dijkstra, D. A. "道森積分推廣形式的連分數展開。" Math. Comp. 31, 503-510, 1977.Faddeyeva, V. N. and Terent'ev, N. M. 復變元函式 w(z)=e^(-z^2)(1+2i/sqrtpiint_0^ze^(t^2)dt) 值表。 New York: Pergamon Press, 1961.Harris, D. III. "關於多普勒效應和阻尼引起的譜線吸收係數。" Astrophys. J. 108, 1120-115, 1948.Hummer, D. G. "非相干散射 I. 多普勒展寬的重分佈函式。" Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 125, 21-37, 1963.Hummer, D. G. "道森函式在切比雪夫多項式級數中的展開。" Math. Comput. 18, 317-319, 1964.Lether, F. G. "道森積分的初等逼近。" J. Quant. Spectros. Radiat. Transfer 4, 343-345, 1991.Lether, F. G. "道森積分的約束近極小極大有理逼近。" Appl. Math. Comput. 88, 267-274, 1997.Lohmander, B. and Rittsten, S. "函式 y=e^(-x^2)int_0^xe^(t^2)dt 表。" Kungl. Fysiogr. Sällsk. i Lund Föhr. 28, 45-52, 1958.Luke, Y. L. 特殊函式及其逼近，第 2 卷。 New York: Academic Press, 1969.McCabe, J. H. "道森積分的帶有截斷誤差估計的連分數展開。" Math. Comput. 28, 811-816, 1974.Milone, L. A. and Milone, A. A. E. "道森函式的計算。" Astrophys. Space Sci. 147, 189-191, 1988.Moshier, S. L. 數學函式的方法和程式。 Chichester, England: Ellis Horwood, 1989.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "道森積分。" §6.10 in 數值食譜：科學計算的藝術，第 3 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 302-304, 2007.Rosser, J. B. "int_0^ze^(-x^2)dx 和 int_0^ze^(-p^2y^2)dy 的理論與應用。" Brooklyn, NY: Mapleton House, 1948.Rybicki, G. B. "道森積分與取樣定理。" Computers in Physics 3, 85-87, 1989.Sajo, E. "道森積分的遞迴性質。" J. Phys. A 26, 2977-2987, 1993.Sloane, N. J. A. 序列 A001147/M3002, A122803, A133841, A133842, 和 A133843 in "整數數列線上百科全書"。Spanier, J. and Oldham, K. B. "道森積分。" Ch. 42 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 405-410, 1987.

在 中引用

道森積分

引用為

Weisstein, Eric W. "道森積分。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DawsonsIntegral.html

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