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三次公式

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三次公式是三次方程的閉式解，即三次多項式的根。一個一般的三次方程的形式為

z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0
(1)

（係數 a_3，即 z^3 的係數，可以透過將整個方程除以 a_3 而不妨假設為 1）。Wolfram 語言可以使用內建命令精確地解三次方程Solve[a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 == 0, x]。該解也可以用 Wolfram 語言代數根物件來表示，首先發出命令SetOptions[Roots, Cubics -> False].

三次方程（以及四次方程）的解是由 Gerolamo Cardano (1501-1576) 在其著作 Ars Magna 中發表的。然而，Cardano 並非這些結果的最初發現者。三次方程的提示是由 Niccolò Tartaglia 提供的，而四次方程是由 Ludovico Ferrari 解出的。然而，Tartaglia 本人可能從其他來源得知了該解法。這個解法顯然最初是由博洛尼亞大學一位鮮為人知的數學教授 Scipione del Ferro (約 1465-1526) 得出的。雖然 del Ferro 沒有發表他的解法，但他將其透露給了他的學生 Antonio Maria Fior (Boyer 和 Merzbach 1991, p. 283)。顯然 Tartaglia 在 1541 年左右從這裡得知了解法。

為了解一般的三次方程 (1)，合理的開始是嘗試透過進行形式為的替換來消除 a_2 項

z=x-lambda.
(2)

然後

(x-lambda)^3+a_2(x-lambda)^2+a_1(x-lambda)+a_0=0
(3)
(x^3-3lambdax^2+3lambda^2x-lambda^3)+a_2(x^2-2lambdax+lambda^2)+a_1(x-lambda)+a_0=0
(4)
x^3+(a_2-3lambda)x^2+(a_1-2a_2lambda+3lambda^2)x+(a_0-a_1lambda+a_2lambda^2-lambda^3)=0.
(5)

透過令 lambda=a_2/3，x^2 項被消去，因此

z=x-1/3a_2.
(6)

然後

z^3=(x-1/3a_2)^3=x^3-a_2x^2+1/3a_2^2x-1/(27)a_2^3
(7)
a_2z^2=a_2(x-1/3a_2)^2=a_2x^2-2/3a_2^2x+1/9a_2^3
(8)
a_1z=a_1(x-1/3a_2)=a_1x-1/3a_1a_2,
(9)

因此方程 (◇) 變為

x^3+(-a_2+a_2)x^2+(1/3a_2^2-2/3a_2^2+a_1)x-(1/(27)a_2^3-1/9a_2^3+1/3a_1a_2-a_0)=0
(10)
x^3+(a_1-1/3a_2^2)x-(1/3a_1a_2-2/(27)a_2^3-a_0)=0
(11)
x^3+3·(3a_1-a_2^2)/9x-2·(9a_1a_2-27a_0-2a_2^3)/(54)=0.
(12)

定義

p=(3a_1-a_2^2)/3
(13)
q=(9a_1a_2-27a_0-2a_2^3)/(27)
(14)

然後使得 (◇) 可以寫成標準形式

x^3+px=q.
(15)

最簡單的方法是進行 韋達替換

x=w-p/(3w),
(16)

這會將三次方程簡化為方程

w^3-(p^3)/(27w^3)-q=0,
(17)

透過乘以 w^3 可以很容易地轉化為關於 w^3 的二次方程，得到

(w^3)^2-q(w^3)-1/(27)p^3=0
(18)

(Birkhoff 和 Mac Lane 1996, p. 106)。來自二次公式的結果是

w^3=1/2(q+/-sqrt(q^2+4/(27)p^3))
(19)
=1/2q+/-sqrt(1/4q^2+1/(27)p^3)
(20)
=R+/-sqrt(R^2+Q^3),
(21)

其中 Q 和 R 有時比 p 和 q 更便於處理。因此，對於 w 有六個解（對於 w^3 的每個根，對應於兩個符號）。將 w 代回 (19) 得到三對解，但每對解都相等，因此三次方程有三個解。

方程 (◇) 也可以透過嘗試從三次方程中提取 形式為 (x-B) 的項來進行顯式分解，從而留下一個二次方程，然後可以使用二次公式進行分解。這個過程等價於進行韋達替換，但在激發韋達的“神奇”替換以及生成解的顯式公式方面做得稍好一些。首先，定義中間變數

Q=(3a_1-a_2^2)/9
(22)
R=(9a_2a_1-27a_0-2a_2^3)/(54)
(23)

（它們與 p 和 q 在常數因子內相同）。然後，一般三次方程 (◇) 變為

x^3+3Qx-2R=0.
(24)

設 B 和 C 暫時為任意常數。完全立方多項式方程滿足的恆等式是

x^3-B^3=(x-B)(x^2+Bx+B^2).
(25)

因此，如果一般三次方程沒有 x 項（即如果 Q=0），則可以直接分解。但是，由於通常 Q!=0，在 (25) 的兩邊都加上 (x-B) 的倍數——比如 C(x-B)——得到稍微複雜的恆等式

(x^3-B^3)+C(x-B)=(x-B)(x^2+Bx+B^2+C)=0,
(26)

重新組合項後，即為

x^3+Cx-(B^3+BC)=(x-B)[x^2+Bx+(B^2+C)]=0.
(27)

現在我們想匹配 係數 C 和 -(B^3+BC) 與方程 (◇) 的係數，因此我們必須有

C=3Q
(28)
B^3+BC=2R.
(29)

將前者代入後者，得到

B^3+3QB=2R.
(30)

因此，如果我們能找到一個滿足上述恆等式的 B 值，我們就從三次方程中分解出一個線性項，從而將其簡化為二次方程。實現這一奇蹟的試探解是以下對稱表示式

B=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3).
(31)

對 B 取二次方和三次方得到

B^2=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+2[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)
(32)
=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)-2Q
(33)
B^3=-2QB+{[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)}×{[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)}
(34)
=[R+sqrt(Q^3+R^2)]+[R-sqrt(Q^3+R^2)]+[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)-2QB
(35)
=-2QB+2R+[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)×[(R+sqrt(Q^3+R^2))^(1/3)+(R-sqrt(Q^3+R^2))^(1/3)]
(36)
=-2QB+2R-QB
(37)
=-3QB+2R.
(38)

將 B^3 和 B 代入 (◇) 的左側得到

(-3QB+2R)+3QB=2R,
(39)

因此我們確實找到了 (◇) 的因子 (x-B)，現在我們只需要分解二次部分。將 C=3Q 代入 (◇) 的二次部分並求解得到的

x^2+Bx+(B^2+3Q)=0
(40)

然後得到解

x=1/2[-B+/-sqrt(B^2-4(B^2+3Q))]
(41)
=-1/2B+/-1/2sqrt(-3B^2-12Q)
(42)
=-1/2B+/-1/2sqrt(3)isqrt(B^2+4Q).
(43)

這些可以透過定義來簡化

A=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)-[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)
(44)
A^2=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)-2[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)
(45)
=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+2Q
(46)
=B^2+4Q,
(47)

這樣，二次部分的解可以寫成

x=-1/2B+/-1/2sqrt(3)iA.
(48)

定義

D=Q^3+R^2
(49)
S=RadicalBox[{R, +, {sqrt(, D, )}}, 3]
(50)
T=RadicalBox[{R, -, {sqrt(, D, )}}, 3],
(51)

其中 D 是多項式判別式（Birkhoff 和 Mac Lane 1996 對其定義略有不同，包括相反的符號），然後給出 A 和 B 的非常簡單的表示式，即

B=S+T
(52)
A=S-T.
(53)

因此，最後，z 的原始方程的根由下式給出

z_1=-1/3a_2+(S+T)
(54)
z_2=-1/3a_2-1/2(S+T)+1/2isqrt(3)(S-T)
(55)
z_3=-1/3a_2-1/2(S+T)-1/2isqrt(3)(S-T),
(56)

其中 a_2 是原始方程中 z^2 的係數，S 和 T 如上定義。這三個給出三次方程的三個根的方程有時被稱為卡爾達諾公式。請注意，如果方程是韋達的標準形式

x^3+px=q,
(57)

在變數 x 中，則 a_2=0，a_1=p，且 a_0=-q，中間變數具有簡單的形式（參見 Beyer 1987）

Q=1/3p
(58)
R=1/2q
(59)
D=Q^3+R^2=(p/3)^3+(q/2)^2.
(60)

解滿足韋達公式

z_1+z_2+z_3=-a_2
(61)
z_1z_2+z_2z_3+z_1z_3=a_1
(62)
z_1z_2z_3=-a_0.
(63)

在標準形式 (◇) 中，a_2=0，a_1=p，且 a_0=-q，因此消除 q 得到

p=-(z_i^2+z_iz_j+z_j^2)
(64)

對於 i!=j，消除 p 得到

q=-z_iz_j(z_i+z_j)
(65)

對於 i!=j。此外，出現在韋達公式中的對稱多項式的性質給出

z_1^2+z_2^2+z_3^2=-2p
(66)
z_1^3+z_2^3+z_3^3=3q
(67)
z_1^4+z_2^4+z_3^4=2p^2
(68)
z_1^5+z_2^5+z_3^5=-5pq.
(69)

卡爾達諾公式中 z_1 的方程沒有顯式出現的 i，而 z_2 和 z_3 則有，但這並不能說明實根和復根的數量（因為 S 和 T 本身通常是複數）。但是，可以透過注意到，如果多項式判別式 D>0，則一個根是實數，兩個是複共軛；如果 D=0，則所有根都是實數，並且至少有兩個相等；如果 D<0，則所有根都是實數且不相等。如果 D<0，定義

theta=cos^(-1)(R/(sqrt(-Q^3))).
(70)

那麼實解是形式為

z_1=2sqrt(-Q)cos(theta/3)-1/3a_2
(71)
z_2=2sqrt(-Q)cos((theta+2pi)/3)-1/3a_2
(72)
z_3=2sqrt(-Q)cos((theta+4pi)/3)-1/3a_2.
(73)

這個過程可以推廣到找到標準形式 (◇) 的任何方程的實根，方法是使用恆等式

sin^3theta-3/4sintheta+1/4sin(3theta)=0
(74)

（Dickson 1914）並設定

x=sqrt((4|p|)/3)y
(75)

（Birkhoff 和 Mac Lane 1996, pp. 90-91），然後

((4|p|)/3)^(3/2)y^3+psqrt((4|p|)/3)y=q
(76)
y^3+3/4p/(|p|)y=(3/(4|p|))^(3/2)q
(77)
4y^3+3sgn(p)y=1/2q(3/(|p|))^(3/2)=C.
(78)

如果 p>0，則使用

sinh(3theta)=4sinh^3theta+3sinhtheta
(79)

得到

y=sinh(1/3sinh^(-1)C).
(80)

如果 p<0 且 |C|>=1，使用

cosh(3theta)=4cosh^3theta-3coshtheta,
(81)

如果 p<0 且 |C|<=1，使用

cos(3theta)=4cos^3theta-3costheta,
(82)

得到

y={cosh(1/3cosh^(-1)C) for C>=1; -cosh(1/3cosh^(-1)|C|) for C<=-1; cos(1/3cos^(-1)C) [three solutions] for |C|<1.
(83)

原始方程的解是

x_i=2sqrt((|p|)/3)y_i-1/3a_2.
(84)

求解三次方程的另一種方法是使用拉格朗日預解式 (Faucette 1996)。設 omega=e^(2pii/3)，定義

(1,x_1)=x_1+x_2+x_3
(85)
(omega,x_1)=x_1+omegax_2+omega^2x_3
(86)
(omega^2,x_1)=x_1+omega^2x_2+omegax_3,
(87)

其中 x_i 是

x^3+px-q=0,
(88)

的根，並考慮方程

[x-(u_1+u_2)][x-(omegau_1+omega^2u_2)][x-(omega^2u_1+omegau_2)]=0,
(89)

其中 u_1 和 u_2 是複數。根是

x_j=omega^ju_1+omega^(2j)u_2
(90)

對於 j=0, 1, 2。相乘得到

x^3-3u_1u_2x-(u_1^3+u_2^3)=0,
(91)

可以寫成 (88) 的形式，其中

u_1^3+u_2^3=q
(92)
u_1^3u_2^3=-(p/3)^3.
(93)

Berndt (1994) 給出了一些由拉馬努金髮現的關於三次方程根的有趣的恆等式。

另請參閱

不可約情形, 三次方程, 三次多項式, 多項式判別式, 二次方程, 四次方程, 五次方程, 六次方程

在 中探索

參考文獻

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在 上引用

三次公式

請引用為

Weisstein, Eric W. "三次公式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CubicFormula.html

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