Banach-Saks 定理

Banach-Saks 定理是泛函分析中的一個結果，它證明了對於任何函式序列 ，如果序列的元素具有某些其他收斂性和可積性性質，則存在“良好收斂”的子序列。由於 Mazur 對原始結果的推廣，該定理有時也被稱為 Banach-Saks-Mazur 定理。

為了精確地陳述結果，設 是一個實數，滿足 ，設 是 上的“足夠好的”測度（例如，標準的勒貝格測度 ），並設 是 中的函式序列，它弱收斂於函式 。 Banach-Saks 定理指出，序列 必然有一個子序列 ，對於該子序列，所謂的 切薩羅平均

均值收斂到 ，當 趨於無窮大時。

上述 Banach-Saks 定理的版本有許多有用的推論，這些推論在泛函分析中被普遍使用。例如，這個結果意味著 空間中關於均值收斂閉的函式凸集，必然在弱收斂意義上也是閉的。

還應該注意的是，上述內容可以被調整和改寫以獲得更高的通用性。例如，如果將 替換為 ，並且如果序列 的弱收斂被有界性取代，則上述定理的版本仍然成立。該結果也適用於從 以外的許多空間中選取的序列，例如，對於空間 中的函式序列，該空間由所有具有連續一階導數的連續實值函式組成，以及對於一致凸巴拿赫空間中的任意有界序列。 Banach-Saks 定理的一個在泛函分析中特別令人關注的情況是用希爾伯特空間的語言表述的，它指出希爾伯特空間 中的每個有界序列 都包含一個子序列 ，其切薩羅平均強收斂於某個點 。 這些結果已被進一步推廣到所謂的 -希爾伯特空間和巴拿赫空間 ，其共軛空間（即對偶向量空間 的複共軛）是一致凸的。

滿足 Banach-Saks 定理版本的空間有時被稱為具有 Banach-Saks 屬性。