貝爾範疇定理

貝爾範疇定理，也稱為貝爾定理和範疇定理，是分析學和集合論中的一個結果，它大致指出在某些空間中，任何可數個“大”集合的交集仍然是“大”集合。名稱中“範疇”的出現指的是該定理與第一範疇和第二範疇集合概念的相互作用。

精確地說，該定理指出，如果空間 是完備度量空間或區域性緊 T2-空間，則 的每個可數稠密開子集的交集必然在 中稠密。

上述與第一範疇和第二範疇集合的相互作用可以用一個簡單的推論來概括，即空間 ，無論是完備度量空間還是區域性緊 Hausdorff 空間，在其自身中都是第二範疇的。為了理解這如何從上述定理得出，設 是完備度量空間或區域性緊 Hausdorff 空間，並注意如果 是 的可數個無處稠密子集的集合，並且如果 表示 的閉包 在 中的補集，則每個集合 必然在 中稠密。由於該定理，可以得出所有集合 的交集必須是非空的（並且實際上必須在 中稠密），從而證明 不能寫成集合 的並集。 特別地，這樣的空間 不能寫成在其自身中無處稠密的集合的可數並集，因此是相對於其自身的第二範疇集合。