縫合流形

縫合流形是幾何拓撲學中的一個工具，由 David Gabai 首次引入，用於研究 3-流形上的緊葉狀結構。粗略地說，縫合流形是一個對 ，其中 是一個緊緻、可定向的帶邊界的 3-流形， 是 中的一組可定向的簡單閉曲線，這些曲線將 分割成 和 兩部分 (Juhász 2010)。

在 Gabai (1983) 的一篇開創性著作中精確定義，縫合流形 是一個緊緻可定向 3-流形 ，以及 的一個子集 ， 是成對不相交的環面 和環 的集合，使得 的每個連通分量包含一個同調非平凡的可定向簡單閉曲線（稱為縫線），並且 是可定向的。使用這種構造，縫合流形 的集合 有效地將 分割成不相交的部分 和 ，其中 和 分別定義為 的連通分量，其法向量分別指向 內部和外部。Gabai 的定義還要求 上的方向與縫線集合 相干，其含義是 的任何帶有邊界方向的分量 必須在 中表示與某些縫線相同的同調類。

對縫合 3-流形的研究已經產生了若干重要的成果，並且仍然是當今拓撲學家研究的重要焦點。例如，Gabai 關於縫合 3-流形的工作為解決包括 Poenaru 猜想和 Property R 猜想在內的幾個長期存在的問題提供了必要的框架，以及一些紐結理論問題，包括紐結虧格的超可加性和Property P 對於衛星紐結 (Scharlemann 1989)。此外，平衡的縫合 3-流形（即那些沒有閉合分量， 的每個分量都包含縫線，且 的流形 ，其中 表示尤拉示性數）也在所謂的縫合 Floer 同調的背景下進行了研究，縫合 Floer 同調是平衡縫合流形的不變數，並且是 Heegaard Floer 同調和紐結 Floer 同調的推廣 (Juhász 2010)。