剛性圖

當應用於圖時，“剛性”一詞有兩種不同的含義。首先，剛性圖可能指的是具有包含單個元素的圖自同構群的圖。在這項工作中，這樣的圖更常用術語“恆等圖”（例如，Albertson 和 Collins 1996）來指代。

剛性更常見的含義考慮的是圖抵抗變形的能力，其中圖的邊通常被視為剛性的直杆或棒，這些杆或棒透過柔性鉸鏈連線到相關的頂點。（有時也會考慮其他邊緣元素，例如纜繩和支柱。）框架（即，具有頂點座標和基礎圖，具有頂點集和邊集）的剛性可以從兩種等效的方式來考慮：無窮小剛性（考慮對應於速度向量的無窮小位移）和靜態剛性（考慮結構上的力和載荷）。

由杆組成的框架被稱為（無窮小）剛性的當且僅當配置點的連續運動，同時保持杆的約束，來自於所有歐幾里得空間的運動族，這些運動是保距離的。這等價於存在，使得每個與等價且滿足所有的的框架與框架全等。

框架是無窮小剛性的當且僅當其剛性矩陣的秩滿足

其中是頂點計數 (Grasegger 2023)。

如果剛性矩陣等於剛性擬陣，則稱框架為的通用實現。當所有點的座標在有理數域上代數獨立時，就會發生這種情況。一個圖（作為一個沒有明確嵌入的抽象物件）被稱為剛性的當且僅當存在一個通用實現，使得該框架是通用剛性的。類似地，如果對於幾乎所有（即，一個開稠密集合的）的配置，圖被稱為（通用）-剛性的，則框架在中是剛性的。

不是剛性圖的圖被稱為柔性圖 (Maehara 1992)。

三角形圖的任何嵌入都是剛性的，而正方形圖的任何嵌入都是柔性的。

柔性圖不能有剛性嵌入。然而，一般來說，剛性圖可能既有剛性嵌入，也有柔性嵌入。例如，除非效用圖在平面上的嵌入的六個頂點位於圓錐曲線上（Bolker 和 Roth 1980，Maehara 1992），否則它是剛性的，上面展示了一些例子。

柯西 (Cauchy) (1813) 證明了剛性定理，這是剛性理論中的首批成果之一。儘管剛性問題對工程師來說非常重要，但對這些型別問題的深入數學研究只是在最近才出現 (Connelly 1993, Graver et al. 1993)。