支撐多邊形

支撐正方形問題提出，給定一個由四個等長杆組成的鉸接正方形（如上圖紅線所示），為了使原始正方形在平面內變為剛性，需要在同一平面內新增多少根鉸接杆（沒有兩根杆交叉）？已知的最佳解決方案（上圖左側）使用了總共 27 根杆（包括正方形的四根杆），其中 、 和 共線（Gardner 1964；Gardner 1984；Wells 1991；Fredrickson 2002，第 70 頁，圖 T4）。

對應於具有等長邊（可以不妨假設為單位長度）且包含正多邊形作為子圖的剛性圖的構型被稱為支撐（正）多邊形。雖然該問題的原始變體假設杆件不重疊，因此對應於剛性和火柴圖的圖嵌入，但放寬條件允許邊重疊會得到對應於剛性單位距離圖的解。

例如，如果允許杆件交叉以形成支撐正方形，則 A. Khodulyov 提出的最佳已知解決方案（如上圖所示）需要 19 根杆（Friedman 2006）。

1963 年，T. H. O'Beirne 找到了五邊形的火柴桿解決方案，使用 69 根杆，八邊形使用 113 根杆，十二邊形使用 57 根杆（Fredrickson 2002，第 70 頁）。O'Beirne 的五邊形支撐如上圖所示（Fredrickson 2002，第 71 頁，圖 T6）。

可以不使用三角形來支撐正方形。上面說明的 21 邊、12 節點單位距離圖是透過從某個 29 節點對稱支撐圖（Pegg 2018b）進行頂點刪除而構建的，它是無三角形的，並且支撐兩個正方形（E. Pegg，私人通訊，2021 年 1 月 3 日）。此外，任何剛性框架（以及因此所有正多邊形）都可以透過沿著兩個共線邊連結上面所示的 12 個 12 頂點無三角形支撐正方形的副本轉換為無三角形的等效物（P. Taxel，2021 年 1 月 3 日）。

下表（從 Friedman 2006 更新，並刪除了非剛性的 36 邊 Mireles 圖）給出了截至 2021 年 10 月的已知最小解決方案，包括杆件重疊和不重疊的情況。其中許多解決方案已在 Wolfram 語言中實現，如GraphData["BracedSquare",27,1], GraphData["BracedPentagon",69,1], 等等。

Khodulyov 對七邊形和 11 邊形的解決方案只是“等角”方法的例項，該方法使用 Peaucellier-Lipkin 連桿機構，適用於所有 -邊形，其中 （n=8、9、10 和 12 除外，它們會產生頂點-頂點退化嵌入）。該結果是漸近最優的，需要 根杆（J. Tan，私人通訊，2021 年 10 月 26 日）。

	邊	火柴桿	邊	單位距離
3	3	三角形圖 (簡單情況)	3
4	27	七位發現者 (Gardner 1964)	19	Andrei Khodulyov (Friedman 2006)
5	69	T. H. O'Beirne，1963 年 (Fredrickson 2002, 第 70 頁)	31	Andrei Khodulyov (Friedman 2006)
6	11	Friedman (2006；簡單情況)	11
7			35	Ed Pegg, Jr.、Parcly Taxel、W. R. Somsky (2020 年 12 月)
8	113	T. H. O'Beirne，1963 年 (Fredrickson 2002, 第 70 頁)	31	Andrei Khodulyov (Friedman 2006)
9			51	Andrei Khodulyov (Friedman 2006)
10			55	Andrei Khodulyov (Friedman 2006)
11			79	J. Tan (Parcly Taxel 2021)
12	57	T. H. O'Beirne，1963 年 (Fredrickson 2002, 第 70 頁)	49	Andrei Khodulyov (Friedman 2006)
13			151	J. Tan (2021 年 10 月)
14			91	W. Somsky (2020 年 12 月)
15			231	Andrei Khodulyov (J. Tan, 2021 年 10 月)
16			109	J. Tan (2021 年 10 月)
17			269	Andrei Khodulyov (J. Tan, 2021 年 10 月)
18			117	J. Tan (2021 年 10 月)