混合線內切圓

一個與三角形的兩條邊和外接圓內切的圓稱為混合線內切圓。存在三個混合線內切圓，每個角對應一個。

內接於角的-混合線內切圓的半徑由下式給出

(1)

其中 是參考三角形的內切圓半徑 (Durell and Robson 1935)，且圓心函式為

(2)

這些可以被推匯出來，透過考慮精確三線座標 ，並注意到-圓與邊和相切的條件意味著

(3)

令 為 -圓和外接圓圓心之間的距離，這可以使用三線距離公式找到，那麼由於這兩個圓內切，

(4)

將此與精確三線座標的條件 結合，可以得到兩個方程，這兩個方程可以求解兩個未知數 和 。

-混合線內切圓與邊和的切點，可以透過將這些邊與穿過內心 且垂直於角平分線 的直線相交找到 (Veldkamp 1976-1977)。

與邊相切的兩個混合線內切圓的根軸穿過不包含的弧的中點，以及內切圓到的切點半徑的中點 (Nguyen and Salazar 2006)。

令 為內接於角的混合線內切圓與外接圓的切點。類似地定義 和 。那麼直線 、 和 共點。交點是外接圓和內切圓的外位似中心，即 Kimberling 中心 (Yiu 1999)。

連線這些圓心的三角形是混合線三角形，其外接圓是混合線圓。