科赫雪花

科赫雪花是一個 fractal 曲線，也稱為科赫島，由 Helge von Koch 於 1904 年首次描述。它透過從一個 等邊三角形開始構建，移除每條邊的內三分之一，在移除邊的位置構建另一個 等邊三角形，然後無限重複該過程。科赫雪花可以簡單地編碼為一個 Lindenmayer 系統，初始字串為"F--F--F"， 字串重寫 規則"F" -> "F+F--F+F"，以及角度 。上面顯示了構造的第零次到第三次迭代。

三角形的每個分形邊有時被稱為科赫曲線。

分形也可以使用基曲線和母題構建，如上所示。

科赫雪花的第 次迭代在 Wolfram Language 中實現為KochCurve[n]。

設 為邊數， 為單邊長度， 為 周長， 為第 次迭代後雪花的 面積。此外，將初始 三角形 的 面積 表示為，初始 邊的長度表示為 1。那麼

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解具有 的遞推方程得到

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因此當 時，

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那麼容量維度為

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(OEIS A100831；Mandelbrot 1983, p. 43)。

一些美麗的 平鋪，其中一些例子如上所示，可以透過迭代科赫雪花來製作。

此外，面積比為 1:3 的兩種尺寸的科赫雪花 平鋪了 平面，如上所示。

科赫雪花的另一種美麗的修改包括用填充三角形內接組成三角形，可能以某個角度旋轉。上面展示了 3 次和 4 次迭代的一些示例結果。