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擺線內旋輪線

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HypotrochoidDiagram1
Hypotrochoid1
HypotrochoidDiagram2
Hypotrochoid2

擺線內旋輪線是由附著在半徑為 b 的圓上的點 P 追蹤的滾轉線，該圓在半徑為 a 的固定圓的內部滾動，其中 P 距內部圓的中心距離為 h。擺線內旋輪線的引數方程是

x=(a-b)cost+hcos((a-b)/bt)
(1)
y=(a-b)sint-hsin((a-b)/bt),
(2)

可以透過計算推匯出極座標方程

r^2=x^2+y^2
(3)
=(a-b)^2+h^2+2(a-b)hcos((at)/b).
(4)

這裡，引數 t 不是極角 theta，而是透過以下方式與之相關

tantheta=y/x=((a-b)sint-hsin((a/b-1)t))/((a-b)cost+hcos((a/b-1)t)).
(5)

要在擺線內旋輪線中獲得 n 個尖點，b=a/n，因為那樣 n 次旋轉 b 會將邊緣上的點帶回其起始位置。

擺線內旋輪線的特殊情況總結在下表中。

曲線特殊值
橢圓a=2b
內擺線h=b
玫瑰線h=a-b

弧長、曲率和切線角是

s(t)=2|(a-b)(b-h)|E((at)/(2b),(2isqrt(bh))/(|b-h|))
(6)
kappa(t)=(b^3-(a-b)h^2+(a-2b)bhcos((at)/b))/(|a-b|[b^2+h^2-2bhcos((at)/b)]^(3/2))
(7)
phi(t)=t(1-a/(2b))+cot^(-1)[(b-h)/(b+h)cot((at)/(2b))],
(8)

其中 E(x,k) 是第二類橢圓積分。

另請參閱

橢圓, 外擺線, 內擺線, 擺線內旋輪線的漸屈線, 玫瑰線, 螺線儀, 旋輪線

使用 探索

參考資料

Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄。紐約：多佛出版社，第 165-168 頁，1972 年。MacTutor 數學史檔案館。“擺線內旋輪線。” http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Hypotrochoid.html。

引用為

Weisstein, Eric W. “擺線內旋輪線。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Hypotrochoid.html

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