霍克斯過程

有許多被稱為霍克斯過程的點過程，雖然其中許多概念相似，但有些則相當不同。對於單變數和多變數點過程，也有不同的公式。

在一些文獻中，單變數霍克斯過程被定義為自激發時序點過程 ，其條件強度函式 定義為

(1)

其中 是過程 的背景速率，其中 是時間 之前發生的時間點，其中 是一個控制 聚類密度的函式。函式 有時被稱為 的激發函式或激勵函式。 同樣，一些作者（Merhdad 和 Zhu 2014）用 表示條件強度函式 ，並將 () 中的被加數重寫為

(2)

霍克斯本人取得最大進展的過程是單變數自激發的時序點過程 ，其條件強度函式 是線性的（Hawkes 1971）。因此，一些作者將此類過程稱為霍克斯過程。 然而，一般來說，這種 行為通常是指定的，即， 是線性的過程被稱為線性霍克斯過程，並與其條件強度函式 是非線性的非線性對應物區分開來（Merhdad 和 Zhu 2014）。

還有其他作者考慮兩種替代型別的單變數霍克斯過程，一種是所謂的基於強度的霍克斯過程，另一種是所謂的基於聚類的版本，它們是等價的，但在不同的背景下研究（Dassios 和 Zhao 2013）。 在這種情況下，基於強度的過程是 在 上的時序點過程，它具有非負的指數衰減的 -隨機強度 ，形式如下

(3)

對於 ，其中 是過程 的歷史， 相對於它進行調整， 是常數回覆水平， 是時間 時的初始強度， 是指數衰減的常數速率， 是自激發跳躍的大小，被視為根據某些分佈函式 分佈的獨立隨機變數，，並且 和 被假定為彼此獨立。 這等價於基於聚類的版本，其中 () 被視為標記的泊松聚類過程 ，唯一的區別是從基於聚類的角度來看

1. 集合 由稱為移民的元素組成，這些元素按照速率為非齊次泊松過程分佈

(4)

對於 。

2. 與移民 相關的標記集合 與移民無關，並且根據某些分佈 分佈為獨立隨機變數。

3. 每個移民 生成一個獨立的聚類 ，與其他聚類無關，其中每個 被視為受特定分支結構約束的隨機集 (Dassios 和 Zhao 2013)，它滿足 的屬性。

除了這些歧義之外，一些作者（例如，Merhdad 和 Zhu 2014）對 () 中描述的單變數過程進行了推廣，這些過程仍然被稱為霍克斯過程。 一個例子包括調整 () 以使該過程具有不同的激發函式，其結果是一系列 的非爆炸簡單點過程，對於這些過程

1. 是一個非齊次泊松過程，在時間 處的強度為 ；

2. 對於每個 ， 是一個簡單點過程，強度為

(5)

3. 對於每個 ， 是一個非齊次泊松過程，條件為 時，強度為 。

在這種情況下，函式 被稱為具有激發函式 的單變數霍克斯過程，而 稱為移民過程， 稱為第 代後代過程 (Merhdad 和 Zhu 2014)。 請注意，當 且對於任何 時 ，此擴充套件模型簡化為經典線性模型 ()。

由於霍克斯過程這個術語在單變數點過程中的廣泛使用，人們預計多變數霍克斯過程的定義也會有同樣多的空間。 然而，令人驚訝的是，該術語最常見的用法是指定義方程 () 和 () 的相對直接的擴充套件，由此可以說，當關聯的強度函式 由下式定義時，取值於 的多變數 -維計數過程 是多變數霍克斯過程

(6)

對於 , ..., ，具有以下形式

(7)

（Bacry 等人 2012）。 這裡， 代表機率， 是由 生成的直到當前時間 的sigma-代數，，以及 對於 。

然而，值得注意的是，正如單變數情況一樣，一些作者區分了不同“型別”的多變數霍克斯過程（Liniger 2009），而另一些作者則將完全不同型別的多變數函式定義為多變數霍克斯過程（Carlsson 等人 2007）。