Dini 導數

設 是定義在 函式 區間 上的實值函式，並設 。四個單側極限

(1)

(2)

(3)

和

(4)

被稱為 在 的 Dini 導數。單獨地，它們被稱為 右上、右下、左上 和 左下 Dini 導數， 在 ，並且任何或所有值都可能是無窮大。

事實證明，連續函式 的單個 Dini 導數在點 處的連續性，意味著 在 處的其他三個 Dini 導數的連續性，四個 Dini 導數的相等，以及函式 函式 的（通常）可微性。此外，Denjoy-Saks-Young 定理 完全表徵了定義在 區間 上的有限實值 函式 的所有可能的 Dini 導數，以及作為推論，定義在 區間 上的所有 單調 和 連續函式 的 Dini 導數。

Dini 導數的許多其他重要性質也已被研究和表徵。Banach 證明了 Lebesgue 可測函式 的 Dini 導數是 Lebesgue 可測的。此外，人們可以很容易地證明 凸函式 滿足關於 Dini 導數的一些非常精確的“幾乎可微性”條件（Kannan 和 Krueger 1996）。

與 的通常導數不同，Dini 導數有時可能具有意想不到的性質。Ruziewicz 提出了一個著名的例子，他表明，即使 在 區間 上成立，連續函式 和 在 上的差值也可能不是常數；這部分是由於允許無限 Dini 導數。