頭條新聞

龐加萊猜想獲證——這次是真的

作者：Eric W. Weisstein

4月15日——俄羅斯數學家 Grigori (Grisha) Perelman 博士，Steklov 數學研究所（俄羅斯科學院聖彼得堡分部）的成員，上週在麻省理工學院 (MIT) 舉辦了一系列公開講座。 這些講座題為“裡奇流與三維流形的幾何化”，是麻省理工學院數學系西蒙斯講座系列的一部分，於 4 月 7 日、9 日和 11 日舉行。 這些講座構成了 Perelman 首次公開討論其兩篇預印本中包含的重要數學成果，一篇於去年 11 月發表，另一篇於上個月發表。

Perelman 是一位備受尊敬的微分幾何學家，在數學界被認為是 裡奇流 方面的專家，裡奇流是一種與光滑曲面曲率相關的技術性數學構造。 Perelman 的成果以專業數學家的術語表達，在這種情況下，使用了抽象 微分幾何 的數學方言。 在一份異常明確的宣告中，Perelman（2003 年）實際上在他的第二篇預印本的開頭寫道：“這是一篇技術性論文，是 [Perelman 2002] 的續篇。” 因此，Perelman 的成果不易為外行人所理解。 Perelman 的預印本僅供專業數學家使用這一事實，也因兩篇論文中完全沒有提及龐加萊，並且僅提及一次瑟斯頓猜想而得到強調。

如果剝離其技術細節，Perelman 的成果似乎證明了數學中一個非常深刻的定理，即 瑟斯頓幾何化猜想。 瑟斯頓猜想與稱為 流形 的數學物件上的幾何結構有關，並且是著名的 龐加萊猜想 的擴充套件。 由於龐加萊猜想是瑟斯頓猜想的一個特例，因此後者的證明立即確立了前者。

龐加萊猜想最初由亨利·龐加萊於 1904 年提出（Poincaré 1953，第 486 和 498 頁），指出每個 閉 單連通 三維流形都同胚於三維球面。 在這裡，三維球面（在拓撲學家的意義上）只是熟悉的二維球面（即，嵌入在通常的三維空間中並具有二維表面的球面）到更高維度的推廣。 更通俗地說，龐加萊猜想認為，三維球面是唯一可能存在的、不包含孔洞的有界三維空間。 該猜想隨後被推廣為猜想：每個 緊 n 維流形都同倫等價於 n 維球面，當且僅當它同胚於 n 維球面。 廣義的陳述現在被稱為龐加萊猜想，當 n = 3 時，它簡化為最初的猜想。

廣義猜想的 n = 1 情況是微不足道的，n = 2 情況是經典的（甚至 19 世紀的數學家也知道），n = 3 情況直到現在仍未解決，n = 4 情況由 Freedman 在 1982 年證明（為此他獲得了 1986 年的 菲爾茲獎），n = 5 情況由 Zeeman 在 1961 年證明，n = 6 情況由 Stallings 在 1962 年證明，n >= 7 情況由 Smale 在 1961 年確立（儘管 Smale 隨後擴充套件了他的證明以包括所有 n >= 5）。

當克雷數學研究所將龐加萊猜想列入其百萬美元獎金問題清單時，公眾對龐加萊猜想的興趣重新燃起。 根據克雷研究所的規則，任何所謂的證明都必須經過兩年的學術審查才能領取獎金。 最近一個未能透過甚至這麼長時間審查的證明示例是 M. J. Dunwoody 於 2002 年 4 月提交的一篇五頁論文（ 新聞報道，2002 年 4 月 18 日），該論文很快被發現存在根本性缺陷。

幾乎整整一年後，Perelman 的成果似乎更加可靠。 雖然數學家們還需要幾個月的時間才能消化和驗證證明的細節，但熟悉 Perelman 工作的數學家認為它經過深思熟慮，並預計很難找到任何重大錯誤。