四面體方程

四面體方程，類似於 二十面體方程，是一組與 正八面體 的射影幾何相關的方程。考慮一個以 為中心的 四面體，其 -軸方向為四重 () 旋轉對稱軸，並且頂部三個邊之一位於 -平面內（左圖）。在此圖中，頂點顯示為黑色，面中心顯示為紅色，邊中點顯示為藍色。

最簡單的四面體方程是透過使用從其 外接球 南極到平面 的 球面投影，投影單位 外接圓半徑 的四面體的頂點來定義的，並將這些頂點位置（在復 -平面中解釋為複數）表示為代數方程的根。結果投影如上左圖所示，黑點是頂點位置。得到的方程是

(1)

其中 在這裡指的是複平面中的座標（不是投影平面上方的高度）。

如果改為投影單位 內切圓半徑 的四面體（上圖第二個圖），則表示面中心位置（紅點）的方程由下式給出

(2)

最後，如果投影單位 中半徑 的八面體（上圖右圖），則表示邊中點位置（藍點）的方程由下式給出

(3)

請注意，由於這些方程涉及變數的 3 次冪的倍數，因此將實體旋轉 弧度會改變數從 到 ，從而產生相同的方程模 次冪的負號，這對應於繞虛軸翻轉根的位置。

如果四面體改為定向，使其頂部和底部面平行於 -平面，則給出投影頂點、面中心和邊中點的相應方程為

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	(5)
	(6)

分別。