二十面體方程

有許多代數方程被稱為二十面體方程，它們都源於二十面體的射影幾何。考慮一個以 為中心的二十面體，其軸沿五重()旋轉對稱軸定向，並且頂部五個邊之一位於平面內（左圖）。在此圖中，頂點顯示為黑色，面中心顯示為紅色，邊中點顯示為藍色。

最簡單的二十面體方程是透過使用球極投影將具有單位外接圓半徑的二十面體的頂點從其外接球的南極投影到平面上定義的，並將這些頂點位置（在復平面中解釋為複數）表示為代數方程的根。得到的投影如上左圖所示，其中黑點是頂點的位置。得到的方程是

(1)

其中此處指的是複平面中的座標（不是投影面上方的高度），並且方程的階數為11而不是12，因為處的頂點被變換為無窮遠，並且已被省略。以對稱形式寫出以上方程，得到

(2)

如果改為投影具有單位內切圓半徑的二十面體（上圖中的第二個圖），則表示面中心位置（紅點）的方程由下式給出

(3)

或者以對稱形式表示，

(4)

最後，如果投影具有單位中半徑的二十面體（上圖中的右圖），則表示邊中點位置（藍點）的方程由下式給出

(5)

或者以對稱形式表示，

(6)

請注意，由於這些方程涉及變數的 5 次冪的倍數，將實體旋轉弧度會轉換量從 到 ，從而在的奇數次冪中產生相同的模負號的方程，這對應於將根的位置圍繞虛軸翻轉。

組合 和 得出一個通常被稱為“二十面體方程”的一般方程：

(7)

Hunt（1996）考慮了一個由下式給出的“非齊次化”的二十面體方程：

(8)

如果二十面體以使頂部和底部面平行於平面定向，則給出其投影頂點的相應方程為

(9)