八面體方程

八面體方程，類似於二十面體方程，是一組相關方程，源於八面體的射影幾何。考慮一個八面體，中心位於，軸沿著四重 () 旋轉對稱軸定向，並且頂部四個邊之一位於平面內（左圖）。在此圖中，頂點以黑色顯示，面中心以紅色顯示，邊中點以藍色顯示。

最簡單的八面體方程是透過使用從其外接球南極到平面的球極投影，投影單位外接圓半徑的八面體的頂點來定義的，並將這些頂點位置（在復平面中解釋為複數量）表示為代數方程的根。結果投影如上左圖所示，黑點為頂點位置。結果方程是

(1)

其中此處指的是複平面中的座標（不是投影平面上方的高度），並且方程是 5 階而不是 6 階，因為位於的頂點被變換為無窮遠並已被省略。

如果改為投影單位內切圓半徑的八面體（上圖第二個圖），則表示面中心位置（紅點）的方程由下式給出

(2)

最後，如果投影單位中半徑的八面體（上圖右圖），則表示邊中點位置（藍點）的方程由下式給出

(3)

請注意，由於這些方程涉及變數的 4 次冪倍數，因此將實體旋轉弧度會使量從變為，從而產生相同的方程，模負號在的奇次冪中，這對應於將根的位置繞虛軸翻轉。

如果八面體改為定向，使其頂面和底面平行於平面，則給出投影頂點、面中心和邊中點的相應方程為

	(4)
	(5)
	(6)

分別地。