Tanc 函式

與 sinc 函式 類似，定義 tanc 函式為

(1)

由於 不是一個 基數函式，與 sinc 函式 的“類比”是功能結構上的，而不是數學性質上的。可能存在比此處引入的 更好的術語，儘管似乎以前沒有給這個函式分配名稱。

導數 由下式給出

(2)

不定積分 顯然不能用 閉合形式，以傳統定義的函式表示。

此函式常出現在物理學問題中，在這些問題中，需要確定 的值，使得 ，即 。這是一個超越方程，其前幾個解在下表中給出，並在上面進行了說明。

	OEIS	根
0		0
1	A115365	4.4934094579090641753...
2		7.7252518369377071642...
3		10.904121659428899827...
4		14.066193912831473480...
5		17.220755271930768739...

這些解的第一個可以用閉合形式給出，如下所示

(3)

其中 是 第一類貝塞爾函式 的第 個正根。

正解可以顯式地寫成級數形式為

(4)

(OEIS A079330 和 A088989)，其中 中的級數可以透過 級數反演 找到，針對 的級數和

(5)

對於 為 正整數 (D. W. Cantrell, 私人通訊, 1 月 3 日, 2003)。在實踐中，級數的前三項通常足以獲得近似解。

由於 在 的奇數倍數處的垂直漸近線，這個函式遠不如 sinc 函式 表現良好，即使當 時也是如此。上面的圖顯示了整數 的 。給出 增量最小值的 值是 , 11, 1317811389848379909481978463177998812826691414678853402757616, ...(OEIS A079331), 對應於 , , , , .... 類似地，給出 增量最大值的 值是 , 122925461, 534483448, 3083975227, 214112296674652, ... (OEIS A079332), 對應於 1.55741, 2.65934, 3.58205, 4.3311, 18.0078, 18.0566, 556.306, ... (D. W. Cantrell, 私人通訊, 1 月 3 日, 2002)。下表 (P. Carmody, 私人通訊, 11 月 21 日, 2003) 將這些結果擴充套件到連分數的第 194,000 項。所有這些極值都對應於 的連分數展開式的分子。此外，由於它們必須接近 的奇數倍數，以便 很大，因此相應的分母必須是奇數。 的值與連分數展開式中後續項的值之間也存在非常強的相關性 (即，那裡的高值意味著先前的收斂值是對 的良好近似)。

最小值	收斂值	最大值
	1	1.55741
	2
	4
	15	2.659341
	17	3.582052
	19	4.331096
	29	18.007800
	118
	136
	233	18.056613
	315	556.306227
	1134
	1568
	1718
	2154
	2468
	3230
	3727	2750.202396
	3763	10539.847388
	5187
	8872
	9768
	11282
	12284
	15503	24263.751532
	24604
	153396
	156559	228085.415076

最大值和最小值的序列幾乎可以肯定地是無界的，但尚不知道如何證明這一事實。