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黎曼素數計數函式

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RiemannPrimeCountingFunction

黎曼將函式 f(x) 定義為

f(x)=sum_(p^(nu)<=x; p prime)1/nu
(1)
=sum_(n=1)^(|_lgx_|)(pi(x^(1/n)))/n
(2)
=pi(x)+1/2pi(x^(1/2))+1/3pi(x^(1/3))+...
(3)

(Hardy 1999, 第 30 頁; Borwein et al. 2000; Havil 2003, 第 189-191 和 196-197 頁; Derbyshire 2004, 第 299 頁), 有時表示為 pi^*(x), J(x) (Edwards 2001, 第 22 和 33 頁; Derbyshire 2004, 第 298 頁), 或 Pi(x) (Havil 2003, 第 189 頁)。 請注意，這不是一個無限級數，因為當從 n=|_lgx_| 開始時，項變為零，其中 |_x_| 是 向下取整函式，而 lgx 是以 2 為底的對數。 對於 x=1, 2, ..., 前幾個值是 0, 1, 2, 5/2, 7/2, 7/2, 9/2, 29/6, 16/3, 16/3, ... (OEIS A096624 和 A096625)。 可以看出，當 x 是素數時，f(x) 跳躍 1；當它是素數的平方時，它跳躍 1/2；當它是素數的立方時，它跳躍 1/3；等等 (Derbyshire 2004, 第 300-301 頁)，如上圖所示。

令人驚訝的是，素數計數函式 pi(x) 透過 莫比烏斯變換 與 f(x) 相關

pi(x)=sum_(n=1)^infty(mu(n))/nf(x^(1/n)),
(4)

其中 mu(n) 是 莫比烏斯函式 (Riesel 1994, 第 49 頁; Havil 2003, 第 196 頁; Derbyshire 2004, 第 302 頁)。 更令人驚訝的是，f(x) 與 黎曼 zeta 函式 zeta(s) 相關，關係如下：

(ln[zeta(s)])/s=int_0^inftyf(x)x^(-s-1)dx
(5)

(Riesel 1994, 第 47 頁; Edwards 2001, 第 23 頁; Derbyshire 2004, 第 309 頁)。 f(x) 也由下式給出

f(x)=lim_(t->infty)1/(2pii)int_(2-iT)^(2+iT)(x^s)/slnzeta(s)ds,
(6)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式, 並且 (5) 和 (6) 構成 梅林變換 對。

RiemannFunctionF

黎曼 (1859) 提出

f(x)=li(x)-sum_(rho)li(x^rho)-ln2+int_x^infty(dt)/(t(t^2-1)lnt),
(7)

其中 li(x) 是 對數積分，求和是對 黎曼 zeta 函式 zeta(z) 的所有非平凡零點 rho 進行的 (Mathews 1961, 第 10 章; Landau 1974, 第 19 章; Ingham 1990, 第 4 章; Hardy 1999, 第 40 頁; Borwein et al. 2000; Edwards 2001, 第 33-34 頁; Havil 2003, 第 196 頁; Derbyshire 2004, 第 328 頁)。 實際上，由於根的和僅條件收斂，因此即使將項 rho 與它們的 “孿生子” 1-rho 配對，也必須按 I[rho] 遞增的順序求和，因此

sum_(rho)li(x^rho)=sum_(I[rho]>0)[Li(x^rho)+Li(x^(1-rho))]
(8)

(Edwards 2001, 第 30 和 33 頁)。

這個公式隨後被 Mangoldt (1895; Riesel 1994, 第 47 頁; Edwards 2001, 第 48 和 62-65 頁) 證明。 右側的積分僅在 x>1 時收斂，但由於沒有小於 2 的素數，因此唯一感興趣的值是 x>=2。 由於它是單調遞減的，因此最大值出現在 x=2，其值為

int_2^infty(dt)/(tlnt(t^2-1))=0.14001010114328692668...
(9)

(OEIS A096623; Derbyshire 2004, 第 329 頁)。

RiemannR

黎曼還考慮了函式

R(x)=sum_(n=1)^infty(mu(n))/nli(x^(1/n)),
(10)

有時也表示為 Ri(x) (Borwein et al. 2000)，透過將黎曼函式中的 f(x^(1/n)) 替換為 對數積分 li(x^(1/n)) 獲得，其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式，而 mu(n) 是 莫比烏斯函式 (Hardy 1999, 第 16 和 23 頁; Borwein et al. 2000; Havil 2003, 第 198 頁)。 R(x) 在上面繪製，包括在半對數刻度上（底部兩個圖），這說明了 R(x) 在原點附近有一系列零點。 這些零點出現在 10^(-x) 對於 x=14827.7 (OEIS A143530), 15300.7, 21381.5, 25461.7, 32711.9, 40219.6, 50689.8, 62979.8, 78890.2, 98357.8, ..., 對應於 x=1.829×10^(-14828) (OEIS A143531), 2.040×10^(-15301), 3.289×10^(-21382), 2.001×10^(-25462), 1.374×10^(-32712), 2.378×10^(-40220), 1.420×10^(-50690), 1.619×10^(-62980), 6.835×10^(-78891), 1.588×10^(-98358), ....

RiemannPrimeNumberFormula

數量 R(x)-pi(x) 在上面繪製。

此函式在 Wolfram 語言中實現為RiemannR[x]。

拉馬努金獨立地推匯出了 R(n) 的公式，但不夠嚴謹 (Berndt 1994, 第 123 頁; Hardy 1999, 第 23 頁)。 下表比較了 pi(10^n) 和 R(10^n) 對於小的 n 值。 黎曼推測 R(n)=pi(n) (Knuth 1998, 第 382 頁)，但 Littlewood 在 1914 年 (Hardy 和 Littlewood 1918) 證明了這是錯誤的。

GramSeriesRiemannComparison

黎曼素數計數函式與 格拉姆級數 相同

G(x)=1+sum_(k=1)^infty((lnx)^k)/(kk!zeta(k+1)),
(11)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式 (Hardy 1999, 第 24-25 頁)，但格拉姆級數對於數值計算更易於處理。 例如，上面的圖顯示了差值 G(x)-R(x)，其中 R(x) 是使用 Wolfram 語言的內建NSum命令（黑色），並使用前 10^1（藍色）、10^2（綠色）、10^3（黃色）、10^4（橙色）和 10^5（紅色）點進行近似。

在表中，[x] 表示 最接近的整數函式。 請注意，Hardy (1999, 第 26 頁) 給出的 x=10^9 的值是不正確的。

nnint(R(10^n))nint(R(10^n)-pi(10^n))
SloaneA057793A057794
151
2261
31680
41227-2
59587-5
67852729
766466788
8576155297
950847455-79
10455050683-1828
114118052495-2318
1237607910542-1476

黎曼函式透過下式與素數計數函式相關

pi(x)=R(x)-sum_(rho)R(x^rho),
(12)

其中求和是對 zeta(s) 的所有複數（非平凡）零點 rho 進行的 (Ribenboim 1996)，即臨界帶中的那些零點，使得 0<R[rho]<1，解釋為意味著

sum_(rho)R(x^rho)=lim_(t->infty)sum_(|I(rho)|<t)R(x^rho).
(13)

然而，(12) 相等的證明似乎在文獻中不存在 (Borwein et al. 2000)。

另請參閱

格拉姆級數, 素數計數函式, 素數定理, 黎曼函式, 黎曼猜想, Soldner 常數

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; and Crandall, R. E. "黎曼 Zeta 函式的計算策略。" J. Comput. Appl. Math. 121, 247-296, 2000.Berndt, B. C. 拉馬努金的筆記本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, 1994.Derbyshire, J. 素數迷戀：伯恩哈德·黎曼和數學中最偉大的未解問題。 New York: Penguin, 2004.Edwards, H. M. 黎曼 Zeta 函式。 New York: Dover, 2001.Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. Acta Math. 41, 119-196, 1918.Hardy, G. H. "級數 R(x)。" §2.3 in 拉馬努金：關於他的生活和工作提出的主題的十二講，第三版。 New York: Chelsea, 1999.Havil, J. Gamma：探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 42, 2003.Ingham, A. E. 素數分佈。 London: Cambridge University Press, p. 83, 1990.Knuth, D. E. 計算機程式設計藝術，第 2 卷：半數值演算法，第三版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.Landau, E. 素數分佈理論手冊，第三版。 New York: Chelsea, 1974.Mangoldt, H. von. "關於黎曼的論文 '論給定大小以下的素數個數' 。" J. reine angew. Math. 114, 255-305, 1895.Mathews, G. B. 第 10 章 in 數論理論。 New York: Chelsea, 1961.Ribenboim, P. 新素數記錄書。 New York: Springer-Verlag, pp. 224-225, 1996.Riemann, G. F. B. "論給定大小以下的素數個數。" Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 671-680, Nov. 1859. Reprinted in 連續統和其他專著 (Ed. H. Weyl). New York: Chelsea, 1972. Also reprinted in English translation in Edwards, H. M. Appendix. 黎曼 Zeta 函式。 New York: Dover, pp. 299-305, 2001.Riemann, B. "論透過三角級數表示函式的可行性。" Reprinted in Gesammelte math. Abhandlungen. New York: Dover, pp. 227-264, 1957.Riesel, H. and Göhl, G. "與黎曼素數公式相關的一些計算。" Math. Comput. 24, 969-983, 1970.Riesel, H. "黎曼素數公式。" 素數和計算機分解方法，第二版。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 50-52, 1994.Sloane, N. J. A. 序列 A057793, A057794, A096623, A096624, A096625, A143530, A143531 in "整數序列線上百科全書。"Wagon, S. Mathematica 在行動。 New York: W. H. Freeman, pp. 28-29 和 362-372, 1991.

在 上引用

黎曼素數計數函式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "黎曼素數計數函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/RiemannPrimeCountingFunction.html

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