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劃分函式 P 同餘

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劃分函式 P(n) 的奇數值的比例大約為 50%，與 n 無關；而 Q(n) 的奇數值隨著 n 變大而出現的頻率越來越低。Kolberg (1959) 證明了 P(n) 有無窮多個偶數值和奇數值。

萊布尼茨注意到，當 n=2, 3, 4, 5, 6 時，P(n) 是素數，但當 n=7 時不是。事實上，使得 P(n) 為 素數 的 n 值有 2, 3, 4, 5, 6, 13, 36, 77, 132, 157, 168, 186, ... (OEIS A046063)，對應於 2, 3, 5, 7, 11, 101, 17977, 10619863, ... (OEIS A049575)。不能寫成 P(n) 乘積的數字有 13, 17, 19, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 38, 39, ... (OEIS A046064)，對應於任何群階都不可能的非同構 阿貝爾群 的數目。

拉馬努金猜想了許多關於 P(n) 的令人驚歎和意想不到的 同餘式。特別地，他證明了

P(5m+4)=0 (mod 5)
(1)

使用 拉馬努金恆等式 (Darling 1919; Hardy and Wright 1979; Drost 1997; Hardy 1999, pp. 87-88; Hirschhorn 1999)。拉馬努金 (1919) 也證明了

P(25m+24)=0 (mod 5^2),
(2)

並且 Krečmar (1933) 證明了

P(125m+99)=0 (mod 5^3).
(3)

Watson (1938) 隨後證明了一般同餘式

P(n)=0 (mod 5^a) if 24n=1 (mod 5^a)
(4)

(Gordon and Hughes 1981; Hardy 1999, p. 89)。對於 a=1, 2, ..., 對應的 n 的最小值是 4, 24, 99, 599, 2474, 14974, 61849, ... (OEIS A052463)。然而，更一般的同餘式

P(125m+74,99,124)=0 (mod 5^3)
(5)
P(3125m+1849,2474,3099)=0 (mod 5^5)
(6)

似乎也成立。

拉馬努金證明了

P(7m+5)=0 (mod 7)
(7)

(Darling 1919)，這可以使用 尤拉恆等式 和 雅可比三重積恆等式 推匯出來 (Hardy 1999, pp. 87-88)，並且也證明了

P(49m+47)=0 (mod 7^2)
(8)

(Hardy 1999, p. 90)。他猜想一般情況下

P(n)=0 (mod 7^b) if 24n=1 (mod 7^b) [incorrect]
(9)

(Gordon and Hughes 1981, Hardy 1999)，儘管 Gupta (1936) 證明了當 b=3 時這是錯誤的。Watson (1938) 隨後制定並證明了修正關係式

P(n)=0 (mod 7^b) if 24n=1 (mod 7^(2b-2))
(10)

對於 b>=2。對於 b=1, 2, ..., 對應的 n 的最小值是 0, 47, 2301, 112747, ... (OEIS A052464)。然而，更一般的同餘式

P(49m+19,33,40,47)=0 (mod 7^2)
(11)

似乎成立。

拉馬努金證明了

P(11m+6)=0 (mod 11)
(12)

成立 (Gordon and Hughes 1981; Hardy 1999, pp. 87-88)，並猜想一般關係式

P(n)=0 (mod 11^c) if 24n=1 (mod 11^c).
(13)

這最終由 Atkin (1967) 證明。對於 c=1, 2, ..., 對應的 n 的最小值是 6, 116, 721, 14031, ... (OEIS A052465)。

Atkin 和 O'Brien (1967) 證明了

P(169n-7)=kappa_dP(n) (mod 13^d) if 24n=1 (mod 13^d),
(14)

其中 kappa_d 是一個僅取決於 d 的整數 (Gordon and Hughes 1981)。對於 d=1, 2, ..., 對應的 n 的最小值是 6, 162, 1007, 27371, ... (OEIS A052466)。

Subbarao (1966) 猜想，在每個 等差數列 r (mod t) 中，有無窮多個整數 N=r (mod t) 使得 P(N) 為 偶數，並且有無窮多個整數 M=r (mod t) 使得 P(M) 為 奇數。

Dyson (1944) 透過他稱之為“秩”的數學工具解釋了模 5 和模 7 的同餘，並猜想這種方法可以擴充套件到其他模數。這個猜想（有時被稱為“crank 猜想”）被擴充套件到模 11 的同餘（Andrews 和 Garvan 1988）。Mahlburg (2005) 隨後用一個優雅的證明完全解決了這個猜想，Dyson 將其描述為“美麗且完全出乎意料”。

在電視劇《數字追兇》(NUMB3RS) 第 4 季的開篇劇集“信任度量”(Trust Metric) (2007) 中，數學天才查理·艾普斯在開場場景結束時告知他的班級，他們將在下一節課講解劃分同餘（儘管當前課程是關於 納什均衡，這有點奇怪）。

參見

同餘, Erdős-Ivić 猜想, 整數序列素數, Newman 猜想, 劃分函式 P, 劃分函式 q, 劃分函式 Q, 劃分函式 Q 同餘

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/PartitionsP/

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參考文獻

Andrews, G. E. and Garvan, F. G. "Dyson's Crank of a Partition." Bull. Amer. Math. Soc. 18, 167-171, 1988.Atkin, A. O. L. "Proof of a Conjecture of Ramanujan." Glasgow Math. J. 8, 14-32, 1967.Atkin, A. O. L. and O'Brien, J. N. "Some Properties of p(n) and c(n) Modulo Powers of 13." Trans. Amer. Math. Soc. 126, 442-459, 1967.Chowla, S. "Congruence Properties of Partitions." J. London Math. Soc. 9, 247, 1934.Darling, H. B. C. "On Mr. Ramanujan's Congruence Properties of p(n)." Proc. Cambridge Philos. Soc. 19, 217-218, 1919.Darling, H. B. C. "Proofs of Certain Identities and Congruences Enunciated by S. Ramanujan." Proc. London Math. Soc. 19, 350-372, 1921.Drost, J. L. "A Shorter Proof of the Ramanujan Congruence mod 5." Amer. Math. Monthly 104, 963-964, 1997.Dyson, F. J. Eureka 8, 10-15, 1944.Dyson, F. J. "Mappings and Symmetries of Partitions." J. Combin. Theory Ser. A 51, 169-180, 1989.Folsom, A.; Kent, Z. A.;and Ono, K. "l-adic Properties of the Partition Function." www.aimath.org/news/partition/folsom-kent-ono.pdf.Getz, J. "On Congruence Properties of the Partition Function." Internat. J. Math. Math. Sci. 23, 493-496, 2000.Gordon, B. and Hughes, K. "Ramanujan Congruences for q(n)." 在 解析數論，1980 年 5 月 12-15 日在賓夕法尼亞州費城天普大學舉行的會議論文集 (編 M. I. Knopp). 紐約: Springer-Verlag, 頁碼 333-359, 1981.Gupta, H. "On a Conjecture of Ramanujan." Proc. Indian Acad. Sci. (A) 4, 625-629, 1936.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於其生平和著作的十二講, 3rd ed. 紐約: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. 數論導論, 5th ed. 牛津，英格蘭: Clarendon Press, 1979.Hirschhorn, M. D. "Another Short Proof of Ramanujan's Mod 5 Partition Congruences, and More." Amer. Math. Monthly 106, 580-583, 1999.Kolberg, O. "Note on the Parity of the Partition Function." Math. Scand. 7, 377-378, 1959.Krečmar, W. "Sur les propriétés de la divisibilité d'une fonction additive." Bull. Acad. Sci. URSS 7, 763-800, 1933.Lehmer, D. H. "An Application of Schläfli's Modular Equation to a Conjecture of Ramanujan." Bull. Amer. Math. Soc. 44, 84-90, 1938.Lewis, R. "Relations Between the Rank and the Crank Modulo 9." J. London Math. Soc. 45, 222-231, 1992.Mahlburg, K. "Partition Congruences and the Andrews-Garvan-Dyson Crank." Proc. National Acad. Sci. USA 102, 15373-15376, 2005.McKee, M. "Classic Maths Puzzle Cracked at Last." Mar. 21, 2005. http://www.newscientist.com/article.ns?id=dn7180.Mordell, L. J. "Note on Certain Modular Relations Considered by Messrs Ramanujan, Darling and Rogers." Proc. London Math. Soc. 20, 408-416, 1922.Ono, K. "Parity of the Partition Function in Arithmetic Progressions." J. reine. angew. Math. 472, 1-15, 1996.Ono, K. "The Partition Function in Arithmetic Progressions." Math. Ann. 312, 251-260, 1998.Ono, K. "Distribution of the Partition Function Modulo m." Ann. Math. 151, 293-307, 2000.Ramanujan, S. "Some Properties of p(n), the Number of Partitions of n." Proc. Cambridge Philos. Soc. 19, 207-210, 1919.Ramanujan, S. "Congruence Properties of Partitions." Math. Z. 9, 147-153, 1921.Sloane, N. J. A. Sequences A046063, A046064, A049575, A052462, A052463, A052464, A052465, and A052466 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Subbarao, M. V. "Some Remarks on the Partition Function." Amer. Math. Monthly 73, 851-854, 1966.Watson, G. N. "Ramanujans Vermutung über Zerfällungsanzahlen." J. für Math. 179, 97-128, 1938.Winquist, L. "An Elementary Proof of p(11m+6)=0 (mod 11)." J. Combin. Th. 6, 56-59, 1969.

在 中被引用

劃分函式 P 同餘

請引用為

Weisstein, Eric W. "劃分函式 P 同餘。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/PartitionFunctionPCongruences.html

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