正態和分佈

令人驚訝的是，兩個正態分佈的獨立變數 和 的和的分佈，其中均值和方差分別為 和 ，也是一個正態分佈

其均值為

方差為

透過歸納法，類似的結論也適用於 個正態分佈變數的和。

另一種推導方法是透過注意到

其中 是特徵函式，而 是逆傅立葉變換，引數取為 。

更一般地，如果 服從正態分佈，均值 均值 為 ，方差 方差 為 ，那麼 的線性函式

也服從正態分佈。新的分佈的均值為 ，方差為 ，這可以使用矩生成函式推導得出

其為標準形式，其中

對於獨立變數的加權和

期望值由下式給出

令其等於

得到

因此， 個隨機變數的加權和的均值和方差是它們的加權和。

如果 是獨立的且服從正態分佈，均值為 0，方差為 ，定義

其中 服從正交條件

其中 是克羅內克 delta。那麼 也是獨立的且服從正態分佈，均值為 0，方差為 。

Cramer 在 1936 年證明了這個結果的逆定理，即如果 和 是獨立的變數，並且 服從正態分佈，那麼 和 都必須是正態分佈。這個結果被稱為Cramer 定理。