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正態乘積分佈


GaussianProductDistribution

兩個正態分佈變數 XY 的乘積的分佈,其中這兩個變數的均值為零,方差分別為 sigma_x^2sigma_y^2,由下式給出

P_(XY)(u)=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^infty(e^(-x^2/(2sigma_x^2)))/(sigma_xsqrt(2pi))(e^(-y^2/(2sigma_y^2)))/(sigma_ysqrt(2pi))delta(xy-u)dxdy
(1)
=(K_0((|u|)/(sigma_xsigma_y)))/(pisigma_xsigma_y),
(2)

其中 delta(x)delta 函式K_n(z)第二類修正貝塞爾函式。該分佈在上方以紅色繪製。

三個正態分佈變數乘積的類似表示式可以用 Meijer G-函式 表示為

 P_(XYZ)(u)=1/(2sqrt(2)pi^(3/2)sigma_xsigma_ysigma_z)G_(0,3)^(3,0)((u^2)/(8sigma_x^2sigma_y^2sigma_z^2)|0,0,0),
(3)

在上方以藍色繪製。


另請參閱

正態差分佈, 正態分佈, 正態比分佈, 正態和分佈

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引用為

Weisstein, Eric W. "正態乘積分佈。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/NormalProductDistribution.html

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