非標準分析

非標準分析是數學邏輯的一個分支，它引入了超實數，以允許“真正的無窮小”的存在，這些無窮小是小於 1/2、1/3、1/4、1/5、... 但大於 0 的數。阿布拉罕·魯濱遜在 1960 年代發展了非標準分析。從那時起，該理論因其自身價值而受到研究，並已應用於 Banach 空間、微分方程、機率論、數理經濟學和數理物理學等領域。

非標準分析中使用的公理是一階集合論公理，但是經典分析中許多用高階公理公理化的主題可以用集合論術語在一階公理化中重新表述。例如，考慮集合上的測度的概念。在經典分析中，人們研究測度空間。一個測度空間由一個集合 ，以及一個測度 組成，該測度是從 的子集的某個 sigma-代數 到實數的函式。這種看待測度空間的方式是一種使用高階邏輯的方式，而測度 是一種“高階物件”，因為它不是 的元素。但是，如果形成超結構 超結構 ，其個體是 的成員和實數，並且按照關於非標準分析的典型文字中的描述構建，作為（大致）迭代冪集塔的並集，唯一的基本關係是隸屬關係，那麼在這個超結構的一階理論中，可以將測度 稱為一個元素，因為它實際上是 的一個元素。

粗略地說，非標準方法用一階類似物代替高階概念。它從不同的角度看待它們。然而，至關重要的是，非標準分析師看待分析公理的角度提供了平均情況下的複雜性降低，從而為各種結果提供了更短的證明，並且有一天將導致證明一個經典數學無法透過非標準方法獲得的結果，正是因為它的經典證明太長，無法在人類居住在地球上的時間內寫下來。

此外，在非標準分析社群中，越來越多的結果沒有被翻譯成標準結果，因為當使用非標準術語時，某些定理的直觀內容更大和/或更清晰。例子包括在數理經濟學中使用非標準分析來描述大型經濟體的行為，以及使用非標準方法來賦予經典上沒有意義的概念以意義，例如無限多個獨立的、等權重的隨機變數的某些乘積。