線性分式變換

形如以下的變換 的變換

(1)

其中 , , , 且

(2)

是一個稱為線性分式變換的共形對映。該變換可以擴充套件到整個擴充複平面 ，定義為

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(Apostol 1997, p. 26)。線性分式變換對於 和 都是線性的，並且在除了 處的簡單極點之外的所有地方都是解析的。

克萊因群是離散群在複平面 中線性分式變換的最一般情況。

除了 之外，每個線性分式變換都有一或兩個不動點。線性分式變換將圓和直線對映到圓或直線。線性分式變換保持對稱性。交比線上性分式變換下是不變的。線性分式變換是由平移、旋轉、放大和反演組成的。

要確定一個特定的線性分式變換，需要指定三個點的對映，且保持方向不變。那麼，該線性分式變換就被唯一確定了。要確定一個一般的線性分式變換，選取兩個對稱點 和 。定義 ，並根據需要限制 。計算 。由於線性分式變換保持對稱性（對稱性原理），因此 等於 。將 和 代入一般線性分式變換，並使其分別等於 和 。不失一般性，設 ，並以 表示求解 和 。將其代回一般表示式以獲得線性分式變換。