布朗運動

一個實值隨機過程 是一個布朗運動，它從 開始，如果滿足以下性質

1. .

2. 對於所有時間 ，增量 ，，...，，是獨立隨機變數。

3. 對於所有 ，，增量 是正態分佈的，具有零期望值和方差 。

4. 函式 是連續幾乎處處的。布朗運動 被稱為標準的，如果 。

從上述標準很容易看出，布朗運動具有許多獨特的自然不變性性質，包括尺度不變性和時間反演不變性。此外，任何布朗運動 滿足大數定律，因此

幾乎處處。此外，儘管乍一看錶現不佳，但布朗運動對於所有值 都是 Hölder 連續幾乎處處的。相反，任何布朗運動在任何地方都不可微幾乎必然。

上述定義自然地擴充套件到獲得更高維的布朗運動。更準確地說，給定獨立的布朗運動 ，它們從 開始，可以定義一個隨機過程 ，透過

這樣的 被稱為 維布朗運動，它從 開始。