有界變差

如果一個函式 在閉區間 上具有有界變差，則存在一個 使得

(1)

對於所有 。

有界變差函式空間記為“BV”，並具有半範數

(2)

其中 遍歷所有由 和 1 界定的緊支撐函式。半範數等於上述所有和的 supremum，也等於 (當此表示式有意義時)。

在區間 上，函式 (紫色) 具有有界變差，但 (紅色) 則不然。更一般地，如果一個函式 在域 中是區域性有界變差的，如果 是區域性可積的，，並且對於所有在 中具有緊閉包的開子集 ，以及所有在 中緊支撐的光滑向量場 ,

(3)

div 表示散度，而 是一個常數，它僅取決於 和 的選擇。

這些函式構成空間 。它們可能不可微，但根據 Riesz 表示定理，一個 -函式 的導數是一個正則 Borel 測度 。有界變差函式也滿足緊緻性定理。

給定一個 函式序列 ，使得

(4)

即函式在任何緊支撐開子集 中的總變差是有界的，存在一個子序列 ，它在 的拓撲中收斂到一個函式 。此外，該極限滿足

(5)

它們也滿足龐加萊引理的一個版本。