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球線段拾取

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BallLinePicking

給定一個 n 球 B^n，半徑為 R，求由球內隨機選擇的兩個點確定的線段長度 s 的分佈。長度的機率分佈由下式給出

P_n(s)=n(s^(n-1))/(R^n)I_x(1/2(n+1),1/2),
(1)

其中

x=1-(s^2)/(4R^2)
(2)

並且

I_x(p,q)=(B(x;p,q))/(B(p,q))
(3)

是 正則化 Beta 函式，其中 B(x;p,q) 是 不完全 Beta 函式，B(p,q) 是 Beta 函式 (Tu and Fischbach 2000)。

前幾個是

P_1(s)=1/R-s/(2R)
(4)
P_2(s)=(4s)/(piR^2)cos^(-1)(s/(2R))-(2s^2)/(piR^3)sqrt(1-(s^2)/(4R^2))
(5)
P_3(s)=(3s^2)/(R^3)-(9s^3)/(4R^4)+(3s^5)/(16R^6)
(6)
P_4(s)=(8s^3)/(piR^4)cos^(-1)(s/(2R))-(8s^4)/(3piR^5)(1-(s^2)/(4R^2))^(3/2)-(4s^4)/(piR^5)sqrt(1-(s^2)/(4R^2)).
(7)

對於 R=1 和前幾個維度 n，平均線段長度 由下式給出

s^__1=2/3
(8)
s^__2=(128)/(45pi)
(9)
s^__3=(36)/(35)
(10)
s^__4=(16384)/(4725pi)
(11)

(OEIS A093530 和 A093531 以及 OEIS A093532 和 A093533)，分別對應於 線線段拾取、圓盤線段拾取、(3-D) 球線段拾取等等。

另請參閱

球拾取, 球點拾取, 球四面體拾取, 球三角形拾取, 圓盤線段拾取, 線線段拾取, 球體線段拾取

使用 探索

參考文獻

Kendall, M. G. 和 Moran, P. A. P. 幾何機率。 New York: Hafner, 1963.Santaló, L. A. 積分幾何與幾何機率。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1976.Sloane, N. J. A. 整數序列線上百科全書中的序列 A093530, A093531, A093532, 和 A093533。Tu, S.-J. 和 Fischbach, E. "N 維球體及其應用的一種新的幾何機率技術" 2000年4月17日。 http://arxiv.org/abs/math-ph/0004021.

在 中被引用

球線段拾取

請引用為

Weisstein, Eric W. "球線段拾取。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/BallLinePicking.html

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