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孿生素數證明被提出

作者：Eric W. Weisstein

2004 年 6 月 9 日——範德堡大學數學家 R. F. Arenstorf 最近釋出的一篇預印本似乎接近於解決長期存在的關於孿生素數無限性的問題。 孿生素數是素數對，其中較大成員比較小成員大 2，即素數 p 和 q 滿足q - p = 2。 明確地，前幾個孿生素數是 (3, 5)、(5, 7)、(11, 13)、(17, 19)、(29, 31) 和 (41, 43)。

孿生素數（由 P. Stäckel 在 1892-1919 年命名）的性質和分佈是數學研究的活躍領域。 雖然孿生素數的分佈仍然難以捉摸，但數學家 V. Brun 在 1919 年證明，即使總和包含無限項，每個孿生素數對的倒數之和

孿生素數猜想指出存在無限多個孿生素數。 雖然 Hardy 和 Wright (1979) 指出“當詳細檢查證據時，似乎證明了該猜想的合理性”，而 Shanks (1993) 甚至更強烈地指出，“證據是壓倒性的。” Hardy 和 Wright 還指出，此類猜想的證明或證偽“目前超出了數學的資源範圍。”

事實上，儘管一個世紀以來數十位數學家為此付出了努力，但孿生素數猜想的證明一直沒有被構建出來。 相比之下，最近的一篇預印本顯然成功地展示了任何長度 k 的素數算術級數的存在，這是一個相關的，也是長期懸而未決的問題（ 頭條新聞報道，2004 年 4 月 12 日）。

然而，在 5 月 26 日的預印本中，R. F. Arenstorf 發表了一個關於孿生素數猜想的擬議證明，該證明是 Hardy 和 Littlewood (1923) 提出的更強形式。 該證明使用了來自經典解析數論的方法，包括 黎曼 zeta 函式的性質、來自 素數定理證明的想法，以及 Wiener 和 Ikehara 在 1931 年提出的所謂的 Tauberian 定理，其中最後一個定理幾乎立即引出了 Arenstorf 的主要結果。

雖然 Arenstorf 的方法看起來很有希望，但法國南錫 Élie Cartan 研究所的數學家 G. Tenenbaum (Tenenbaum 2004) 最近指出了證明的某個特定步驟（具體而言，第 35 頁的引理 8；引理是在證明更大定理時使用的簡短定理）中的錯誤。 雖然數學家們仍然希望能夠糾正證明中的任何漏洞，但 Tenenbaum 認為這個特定的錯誤可能會對整個證明的完整性產生嚴重影響。 其他數學家在未來幾周和幾個月內的額外分析將確定，像最初有缺陷的 費馬最後定理證明一樣，孿生素數結果是否也可以被糾正，從而最終解決這個長期懸而未決的問題，或者是否需要額外的見解和工具才能最終破解它。