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非中心 F 分佈

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雙重非中心 F-分佈描述了對於兩個獨立分佈的非中心卡方變數 X:chi_(n_1)^2(lambda_1) 和 Y:chi_(n_2)^2(lambda_2) 的分佈 (X/n_1)/(Y/n_2) (Scheffe 1959, Bulgren 1971)。如果 lambda_1=lambda_2=0，則變為通常的（中心）F 分佈，如果 lambda_1!=0,lambda_2=0，則變為單非中心 F-分佈。情況 lambda_1=0,lambda_2!=0 給出了雙重非中心分佈的特殊情況。

雙重非中心 F-分佈的機率密度函式為

P(n_1,n_2;lambda_1,lambda_2;x) =sum_(k=0)^inftysum_(l=0)^infty(n_1^(k+n_1/2)n_2^(l+n_2/2)x^(k+n_1/2-1)lambda_1^klambda_2^l)/(2^(k+l)k!!e^((lambda_1+lambda_2)/2)B(k+1/2n_1,l+1/2n_2)) ×(n_2+n_1x)^(-(k+l)-(n_1+n_2)/2)
(1)

並且分佈函式為

D(n_1,n_2;lambda_1,lambda_2;x)=sum_(k=0)^inftysum_(l=0)^infty((n_1x)/(n_2))^(k+n_1/2) ×(lambda_1^klambda_2^l_2F_1(k+1/2n_1,k+l+1/2(n_1+n_2);k+1+1/2n_1;-(n_1)/(n2)x))/(2^(k+l-1)e^((lambda_1+lambda_2)/2)(2k+n_1)B(1/2n_1+k,1/2n_2+l)k!l!),
(2)

其中 B(p,q) 是 Beta 函式，_2F_1(a,b;c;z) 是超幾何函式。第 n 個原點矩以解析方式給出為

mu_n^'=e^(-(lambda_1+lambda_2)/2)((n_2)/(n_1))^nGamma(1/2n_1+n)Gamma(1/2n_2-n)×_1F^~_1(1/2n_1+n;1/2n_1;1/2lambda_1)_1F^~_1(1/2n_2-n;1/2n_2;1/2lambda_2).
(3)

單非中心 F-分佈由下式給出

P(x)=e^(-lambda/2+(lambdan_1x)/[2(n_2+n_1x)])n_1^(n_1/2)n_2^(n_2/2)x^(n_1/2-1)(n_2+n_1x)^(-(n_1+n_2)/2)(Gamma(1/2n_1)Gamma(1+1/2n_2)L_(n_2/2)^(n_1/2-1)(-(lambdan_1x)/(2(n_2+n_1x))))/(B(1/2n_1,1/2n_2)Gamma[1/2(n_1+n_2)])
(4)
=1/(B(1/2n_1,1/2n_2))(e^(lambda/2)x^(n_1/2-1)(xn_1+n_2)^(-(n_1+n_2)/2)n_1^(n_1/2)n_2^(n_2/2)_1F_1(1/2(n_1+n_2);1/2n_1;(xlambdan_1)/(2(xn_1+n_2)))),
(5)

其中 Gamma(z) 是 Gamma 函式，B(alpha,beta) 是 Beta 函式，並且 L_m^n(z) 是廣義拉蓋爾多項式。它在Wolfram 語言中實現為NoncentralFRatioDistribution[n1, n2, lambda].

單非中心 F-分佈的第 F 個原點矩以解析方式給出為

mu_n^'=((n_2)/(n_1))^n(Gamma(1/2n_1+n)Gamma(1/2n_2-n)_1F^~_1(n+1/2n_1;1/2n_1;1/2lambda))/(e^(lambda/2)Gamma(1/2n_2)).
(6)

前幾個原點矩然後是

mu_1^'=(n_2(lambda+n_1))/(n_1(n_2-2))
(7)
mu_2^'=(n_2^2[lambda^2+2(n_1+2)lambda+n_1(n+1+2)])/(n_1^2(n_2-2)(n_2-4))
(8)
mu_3^'=(n_2^3[lambda^3+3(n_1+4)lambda^2+3(n_1+2)(n_1+4)lambda+n_1(n_1+2)(n_1+4)])/(n_1^3(n_2-6)(n_2-4)(n_2-2))
(9)
mu_4^'=(n_2^4[lambda^4+4(n_1+6)lambda^3+6(n_1+4)(n_1+6)lambda^2+4(n_1+2)(n_1+4)(n_1+6)lambda+n_1(n_1+2)(n_1+4)(n_1+6)])/(n_1^4(n_2-8)(n_2-6)(n_2-4)(n_2-2)),
(10)

前幾個中心矩是

mu_2=(2n_2^2[lambda^2+2(n_1+n_2-2)lambda+n_1(n_1+n_2-2)])/(n_1^2(n_2-2)^2(n_2-4))
(11)
mu_3=(8n_2^3[2lambda^3+6(n_1+n_2-2)lambda^2+3(n_1+n_2-2)(2n_1+n_2+2)lambda+n_1(n_1+n_2-2)(2n_1+n_2-2)])/(n_1^3(n_2-2)^3(n_2-4)(n_2-6)).
(12)

均值和方差因此由下式給出

mu=((lambda+n_1)n_2)/(n_1(n_2-2))
(13)
sigma^2=(n_2^2[lambda^2+(2n_1+4)lambda+n_1(n_1+2)])/(n_1^2(n_2-4)(n_2-2)^2).
(14)

另請參閱

F 分佈

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參考文獻

Patnaik, P. B. "The Non-Central c_2- and F-Distributions and Their Applications." Biometrika 36, 202-232, 1949.Bulgren, W. G. "On Representations of the Doubly Non-Central F Distribution." J. Amer. Stat. Assoc. 66, 184, 1971.Scheffé, H. The Analysis of Variance. New York: Wiley, pp. 135 和 415, 1959.Stuart, A.; and Ord, J. K. Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol. 2A: Classical Inference & the Linear Model, 6th ed. New York: Oxford University Press, p. 893, 1999.

在 中被引用

非中心 F 分佈

請引用為

Weisstein, Eric W. "非中心 F 分佈。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/NoncentralF-Distribution.html

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