自然方程

自然方程是一種不依賴於任何座標系或引數化選擇來指定曲線的方程。自然方程的研究始於以下問題：給定一個引數的兩個函式，找到一個空間曲線，使得這兩個函式分別是該曲線的曲率和撓率。

尤拉給出了平面曲線的積分解（平面曲線的撓率 ）。將曲線的切線與 x 軸之間的夾角 稱為切線角，則

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其中 是曲率。那麼方程

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其中 是撓率，由以下引數方程的曲線解出

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方程 和 被稱為空間曲線的自然（或內在）方程。用弧長 和曲率半徑 （或 ）表示平面曲線的方程稱為 Cesàro 方程，用弧長 和 表示平面曲線的方程稱為 Whewell 方程。曲線的自然引數方程用弧長而不是任意引數（如 ）來引數化曲線。

在可以用初等函式求解的特殊平面曲線中，有 圓、對數螺線、圓的漸伸線和 外擺線。恩內珀證明，這些曲線中的每一條都是螺旋線在沿對稱軸的旋轉圓錐曲面上的投影。上述情況分別對應於 圓柱、圓錐、拋物面和 球體。