亞迴圈群

亞迴圈群有兩個定義。

1. 亞迴圈群是一個 群 ，使得它的換位子群 和商群 都是 迴圈群 (Rose 1994, p. 247)。

2. 群 是亞迴圈群，如果它有一個 迴圈 正規子群 ，使得商群 也是迴圈群 (Rose 1994, p. 56)。

一般來說，一個群可能根據第二個定義是亞迴圈群，但不滿足第一個定義。例如，四元群 有一個 4 階正規迴圈子群，因此它滿足定義 (2)。另一方面，換位子 由兩個元素 組成，商群 同構於 有限群 C2×C2，因此該群不是迴圈群。

第一個定義更經典，但現在基本上所有代數學家都使用第二個定義，這也是本文餘下部分使用的定義。

亞迴圈群是可解群，並且有一個長度為 2 的合成列。

Hempel (2000) 給出了有限亞迴圈群的完整分類。亞迴圈群都由兩個元素生成，這兩個元素受制於三個關係，這三個關係取決於幾個數值引數。作為一個特例，考慮由兩個元素 和 生成的群，使得

其中 。對於 和 ，這是二面體群 的定義，其中 是繞中心旋轉 的角度， 是正 邊形的對稱軸的反射。

二面體群 是亞迴圈群，亞迴圈群的每個子群和每個商群也是亞迴圈群 (Rose 1994, p. 56)。

如果一個群的 Sylow p-子群 都是迴圈群，則該群始終是亞迴圈群 (Scott 1987, p. 356; Rose 1994, pp. 246-247)。特別地，由此得出每個無平方因子階群都是亞迴圈群。