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萊默餘切展開

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萊默 (1938) 證明了每個 正 無理數 x 都有唯一的無限連餘切表示，形式為

x=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)b_k],
(1)

其中 b_k 是 非負 的，且

b_k>=b_(k-1)^2+b_(k-1)+1.
(2)

請注意，係數的這種增長條件對於萊默展開的唯一性至關重要。

下表總結了各種特殊常數的係數 b_k。

xOEIS{b_k}
eA0026682, 8, 75, 8949, 119646723, 15849841722437093, ...
尤拉-馬歇羅尼常數 gammaA0817820, 1, 3, 16, 389, 479403, 590817544217, ...
黃金比例 phiA0062671, 4, 76, 439204, 84722519070079276, ...
萊默常數 xiA0020650, 1, 3, 13, 183, 33673, ...
piA0026673, 73, 8599, 400091364,371853741549033970, ...
畢達哥拉斯常數 sqrt(2)A0026661, 5, 36, 3406, 14694817,727050997716715, ...

黃金比例 phi 的展開式具有優美的閉合形式

phi=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)(L_(3^k))],
(3)

其中 L_n 是 盧卡斯數。

以下是 phi 的另一種餘切展開的示例，它不是萊默展開，因為其係數增長太慢

phi=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)(F_(2k+2))],
(4)

其中 F_n 是 斐波那契數（B. Cloitre，私人通訊，2005 年 9 月 22 日）。

另請參閱

餘切, 反餘切, 萊默常數

使用 探索

參考文獻

Lehmer, D. H. "A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4, 323-340, 1938.Rivoal, T. "Propriétés diophantiennes du développement en cotangente continue de Lehmer." http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal/articles/cotan.pdf.Shallit, J. "Predictable Regular Continued Cotangent Expansions." J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. B 80B, 285-290, 1976.Sloane, N. J. A. Sequences A002065/M2961, A002666/M3983, A002668/M1900, A002667/M3171, A006267/M3699, and A081782 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 上被引用

萊默餘切展開

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "萊默餘切展開。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LehmerCotangentExpansion.html

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