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萊默常數

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收斂速度最慢的 萊默餘切展開式 出現在遞推方程中的不等式變為等式時

b_k>=b_(k-1)^2+b_(k-1)+1.
(1)

對於

x=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)b_k]
(2)

被等式替換，得到 c_0=0 以及

c_k=c_(k-1)^2+c_(k-1)+1
(3)

對於 k>=1。

這個遞推關係給出了 c_k 的值，對應於 0, 1, 3, 13, 183, 33673, ... (OEIS A002065)，並將被稱為萊默常數的常數定義為

xi=cot(cot^(-1)0-cot^(-1)1+cot^(-1)3-cot^(-1)13+cot^(-1)183-cot^(-1)33673+cot^(-1)1133904603-cot^(-1)1285739649838492213+...+(-1)^kc_k+...)
(4)
=cot(1/4pi+cot^(-1)3-cot^(-1)13+cot^(-1)183-cot^(-1)33673+cot^(-1)1133904603-cot^(-1)1285739649838492213+...+(-1)^kc_k+...)
(5)
=0.59263271...
(6)

(OEIS A030125)。

xi 不是次數小於 4 的 代數數，但萊默的方法無法證明 xi 是否是 超越數。

另請參閱

代數數, 餘切, 反餘切, 萊默餘切展開式, 超越數

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參考文獻

Finch, S. R. "萊默常數。" §6.6. in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 433-434, 2003.Le Lionnais, F. 卓越的數字。 Paris: Hermann, p. 29, 1983.Lehmer, D. H. "連分數的餘切類似物。" Duke Math. J. 4, 323-340, 1938.Rivoal, T. "萊默連續餘切展開的丟番圖性質。" http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal/articles/cotan.pdf.Sloane, N. J. A. 序列 A002065/M2961 和 A030125 in "整數序列線上百科全書。"

在 中引用

萊默常數

請引用為

Weisstein, Eric W. "萊默常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LehmersConstant.html

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