主題
Search

勒貝格最小問題

下載 Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook
LebesguesMinimal

找到面積最小的平面薄片 薄片，它可以覆蓋任何單位廣義直徑的平面圖形。一個單位圓太小，但一個六邊形外接於單位圓則又過大。帕爾 (1920) 表明，可以透過切掉六邊形角上與六邊形的內切圓相切的兩個等腰三角形來縮小六邊形（Wells 1991；上圖左側）。斯普拉格隨後證明，還可以移除一個額外的微小曲線區域（Wells 1991；上圖右側）。這些構造給出了上界。

內切圓半徑 r=1/2 (給出 直徑 為 1) 的六邊形的邊長為

a=2rtan(pi/n)=1/3sqrt(3),
(1)

並且這個六邊形的面積是

A_1=nr^2tan(pi/n)=1/2sqrt(3)=0.866025...
(2)

(OEIS A010527)。

LebesguesMinimalTriangle

在上圖中，矢高由下式給出

s=rtan(pi/n)tan(pi/(2n))
(3)
=1/6(2sqrt(3)-3),
(4)

其他距離由下式給出

b=stan(pi/3)=sqrt(3)s
(5)
h=sqrt(s^2+b^2)=2s,
(6)

因此，在帕爾簡化中移除的一個等邊三角形的面積是

A_Delta=bs
(7)
=sqrt(3)s^2
(8)
=1/(12)(7sqrt(3)-12)
(9)
approx 0.010363,
(10)

因此，移除兩個這樣的三角形後剩餘的面積是

A_2=A_1-2A_Delta
(11)
=2/3(3-sqrt(3))
(12)
=0.845299...
(13)

(OEIS A093821)。

計算斯普拉格構造中移除的區域的面積更為複雜。首先，使用相似三角形

(a-h)/h=(r_2)/(r_1)
(14)

結合 r_1+r_2=r 得到

r_2=(2r(a-h))/a=sqrt(3)-1.
(15)

然後

x=r_2cos(pi/3)=1/2(sqrt(3)-1),
(16)

並且角 theta 由下式給出

theta=cos^(-1)(x/(2r))=cos^(-1)[1/2(sqrt(3)-1)],
(17)

並且角 phi 僅僅是

phi=theta-1/3pi.
(18)

距離 h^' 是

h^'=2rtanphi
(19)
l=2rsecphi,
(20)

並且三角形和扇形之間的面積是

dA_3^((1))=rh-1/2(2r)^2phi
(21)
=2r^2(tanphi-phi)
(22)
=1/2(tanphi-phi)
(23)
approx 0.000554738.
(24)

小三角形的面積是

dA_3^((2))=1/2(l-2r)(h-h^')
(25)
=1/6(secphi-1)(2sqrt(3)-3-3tanphi)
(26)
approx 0.0000264307,
(27)

因此，剩餘的總面積是

A_3=A_2-2(dA_3^((1))-dA_3^((2)))
(28)
=-(109)/(121)-(82)/(121sqrt(3))+2/(121)sqrt(28634sqrt(3)-35139)-1/3pi+cos^(-1)[1/2(sqrt(3)-1)]
(29)
=0.844137...
(30)

(OEIS A093822)。

還已知面積的下界由下式給出

A>1/8pi+1/4sqrt(3) approx 0.825712
(31)

(Ogilvy 1990)。

另請參閱

面積, Borsuk 猜想, 廣義直徑, Kakeya 針問題

使用 探索

參考文獻

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. 數學消遣與散文，第 13 版 New York: Dover, p. 99, 1987.Coxeter, H. S. M. "勒貝格最小問題。" Eureka 21, 13, 1958.Grünbaum, B. "Borsuk 問題及相關問題。" Proc. Sympos. Pure Math, Vol. 7. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 271-284, 1963.Kakeya, S. "關於卵形線的極大值和極小值的一些問題。" Sci. Reports Tôhoku Imperial Univ., Ser. 1 (Math., Phys., Chem.) 6, 71-88, 1917.Ogilvy, C. S. 未來的數學：業餘愛好者未解問題，第 2 版 New York: Oxford University Press, 1972.Ogilvy, C. S. 幾何學之旅。 New York: Dover, pp. 142-144, 1990.Pál, J. "Ueber ein elementares Variationsproblem." Det Kgl. Danske videnkabernes selskab, Math.-fys. meddelelser 3, Nr. 2, 1-35, 1920.Sloane, N. J. A. 序列 A010527, A093821, 和 A093822 在 "整數序列線上百科全書" 中。Wells, D. 企鵝好奇與有趣的幾何學詞典。 London: Penguin, p. 138, 1991.Yaglom, I. M. 和 Boltyanskii, V. G. 凸圖形。 New York: Holt, Rinehart, & Winston, pp. 18 和 100, 1961.

在 中被引用

勒貝格最小問題

請引用為

Eric W. Weisstein "勒貝格最小問題。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LebesgueMinimalProblem.html

主題分類