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卡克亞針問題

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卡克亞針問題要求找出平面圖形的最小面積，在其中可以自由旋轉寬度為 1 的線段（其中也允許線段平移）。令人驚訝的是，沒有最小面積（Besicovitch 1928）。另一種趨向於所需面積儘可能小的迭代構造稱為 Perron 樹（Falconer 1990，Wells 1991）。

當圖形被限制為凸形時，最小區域是單位高度的等邊三角形。Wells（1991）指出卡克亞發現了這一點，而 Falconer（1990）將其歸因於 Pál。

如果將凸性替換為較弱的單連通性假設，則面積仍然可以任意小，但如果要求集合是星形的，則已知下界為 pi/108 (Cunningham 1965)。

最小的簡單凸域，在其中可以放置長度為 1 的線段，當旋轉 180 degrees 時，該線段將與其自身重合，其面積為

1/(24)(5-2sqrt(2))pi=0.284258...

(OEIS A093823；Le Lionnais 1983)。

另請參閱

定寬曲線, Lebesgue 最小問題, Perron 樹, 勒洛多邊形, 勒洛三角形

本條目的部分內容由 Laura Wisewell 貢獻

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參考文獻

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. 數學娛樂與散文，第 13 版 New York: Dover, pp. 99-101, 1987.Besicovitch, A. S. "關於卡克亞問題及類似問題。" Math. Z. 27, 312-320, 1928.Besicovitch, A. S. "卡克亞問題。" Amer. Math. Monthly 70, 697-706, 1963.Borwein, J. 和 Bailey, D. 實驗數學：21 世紀的合理推理 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 81-82, 2003.Cunningham, F. Jr. 和 Schoenberg, I. J. "關於卡克亞常數。" Canad. J. Math. 17, 946-956, 1965.Falconer, K. J. 分形集的幾何，第一版平裝本，已修訂 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Le Lionnais, F. 卓越的數 Paris: Hermann, p. 24, 1983.Littlewood, J. E. Littlewood 的雜集 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 38, 1986.Ogilvy, C. S. 微積分筆記本 Boston, MA: Prindle, Weber, & Schmidt, 1968.Ogilvy, C. S. 幾何之旅 New York: Dover, pp. 147-153, 1990.Pál, J. "卵形線的最小值問題。" Math. Ann. 88, 311-319, 1921.Sloane, N. J. A. 整數數列線上百科全書中的序列 A093823."Steinhaus, H. 數學快照，第 3 版 New York: Dover, pp. 151-152, 1999.Wagon, S. Mathematica 實踐 New York: W. H. Freeman, pp. 50-52, 1991.Wells, D. 企鵝好奇與趣味幾何詞典 London: Penguin, pp. 128-129, 1991.

在 上被引用

卡克亞針問題

引用為

Weisstein, Eric W. 和 Wisewell, Laura. "卡克亞針問題。" 來自 ——Wolfram 網路資源. https://mathworld.tw/KakeyaNeedleProblem.html

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