Anton, H. 微積分與解析幾何，第二版 紐約: Wiley, p. 189, 1984.Apostol, T. M. "連續函式的介值定理." §3.10 in 微積分，第二版，第一卷：單變數微積分，線性代數導論 Waltham, MA: Blaisdell, pp. 144-145, 1967.Bolzano, B. "Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege." Prague, 1817. English translation in Russ, S. B. "A Translation of Bolzano's Paper on the Intermediate Value Theorem." Hist. Math.7, 156-185, 1980.Cauchy, A. Cours d'analyse. Reprinted in Oeuvres, series 2, vol. 3, pp. 378-380. English translation in Grabiner, J. V. The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 167-168, 1981.Grabiner, J. V. "誰給了你ε？柯西與嚴謹微積分的起源." Amer. Math. Monthly90, 185-194, 1983.
在 閉區間 ![[a,b]](/images/equations/IntermediateValueTheorem/Inline2.svg)
上連續，並且 
是介於 
和 
（包含端點）之間的任意數，那麼在閉區間中至少存在一個數 
使得 
。![f([a,b])](/images/equations/IntermediateValueTheorem/Inline8.svg)
是連通的，因為連通集在連續函式下的像是連通的，其中 ![f([a,b])](/images/equations/IntermediateValueTheorem/Inline9.svg)
表示 區間 ![[a,b]](/images/equations/IntermediateValueTheorem/Inline10.svg)
在函式 
下的像。由於 
介於 
和 
之間，它必然在這個連通集中。
的情況，對應於波爾查諾定理）最早由波爾查諾 (Bolzano) (1817) 證明。雖然波爾查諾使用的技術在他那個時代被認為是特別嚴謹的，但在現代看來它們被認為是缺乏嚴謹性的 (Grabiner 1983)。