群代數

群代數 ，其中 是一個域， 是一個群，運算為 ，是 的有限多個元素的線性組合的集合，其係數在 中，因此是形式為如下的所有元素

(1)

其中 且 對於所有 。此元素通常可以表示為

(2)

其中假定對於 的所有元素但有限多個元素，。

是 上的一個代數，關於由規則定義的加法

(3)

由標量給出的乘積

(4)

以及乘法

(5)

從這個定義可以得出， 的單位元是 的單位元，並且 是可交換的 當且僅當 是一個 阿貝爾群。

如果域 被單位環 替換，則上面定義的加法和乘法產生群環 。

如果 ，且 是整數的通常加法，則群環 同構於由所有和形成的環

(6)

其中 是整數，且對於所有索引 ，。

設 是一個區域性緊群， 是 上的左不變哈爾測度。則 巴拿赫空間 在由卷積給出的乘積 對於 是一個可交換的 巴拿赫代數，稱為 的群代數。